高等数学第12章课后习题答案(科学出版社)

习题 12.1

1. 判断下列方程是几阶微分方程:

2

dy(1) x2 y; dx

3

dy dy

(2)x 2 4x 0;

dx dx

d2y dy

(3)x2 2 5xy 0; (4)xy 2x2(y )3 x3y x4 1.

dx dx

解 (1)

(3)

是一阶线性微分方程; (2)是一阶非线性微分方程; 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

（1）xy 2y，y 5x2； （2）y y 0，y 3sinx 4cosx； （3）y 2y y 0，y x2ex； （4）xy x(y )2 yy 0，y x． 解 (1)

是; (2)

是; (3)

不是; (4)

不是二阶非线性微分方程.

3. 验证函数y (x2 C)sinx(C为任意常数)是方程

dy

ycotx 2xsinx 0 dx

的通解, 并求满足初始条件y|

x

2

0的特解.

解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将y (x2 C)sinx求一阶导数,得

dy

2xsinx (x2 C)cosx, dx

把y和

dy

代入方程左边得 dx

dy

ycotx 2xsinx 2xsinx (x2 C)cosx (x2 C)sinxcotx 2xsinx 0. dx

因方程两边恒等,且y中含有一个任意常数,故y (x2 C)sinx是题设方程的通解. 将初始条件yx 0代入通解y (x2 C)sinx中，

2

得0

2

4

C

C

2

4

.

2 2

x. 从而所求特解为 y x 4 sin

4．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.

(1) 一曲线通过原点，并且它在(x,y)处的切线斜率等于2x y; (2) 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.

解：由题意，

y 2x y，y

x 0

0

解：设该曲线的方程为

y f(x)，(x,y)为其上任意一点，该点处的切线斜率为y ，过该点的切线方程为

Y y y (X x)。

令

X 0，解得切线的纵截距Y y xy ，由题意，2y Y，则得该曲线满足的微分方程：

x 2

xy y以及初值条件y 3。

习 题 12-2

1．求下列微分方程的通解：

dy y2x y

（1）； 10； （2）y 2

dx1 x

dyx y

ex dx ex y ey dy 0； （4）（3） e y2cosx;

dx

答案

1．(1) 10 y 10x C； (2)； arcsiyn arcsixn C (3) (e 1)(e 1) C； (4) y 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）(1 x)y arctanx,y|x 0 0； （2）cosxsinydy cosysinxdx，y|x 0 （3）(x 4)y 2xy,y|x 0 1; （4）cosydx 1 e（5）y 3x（6）y

2

xy

11

aln(1 a x) C；

sinx Cy

2

4

；

22

sinydy 0，y| ；

4

dy 2xydx 0，y| 1；

x

x 0

x 0

xy

，y|x 1 2； yx1

答案:(1) y (arctanx)2 ； (2)cosx (2cosy) 0；

2

(3) y (x2 4)； (4) e 1 22cosy；

1

x

4

(5) x2 y2 y3 0； (6) y2 2x2(lnx 2)；

3. 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律.

答案: (物体冷却的数学模型)

dT

k(T 20). dt

4. 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. (

水从孔口流出的流量为Q＝

dV

0.62 S截面dt

答案: t

4.652g

(7 105 103h3 3h5).

5. 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02

的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少? 答案: 故6分钟后，车间内CO2的百分比降低到0.056%.

习题12-3

1．求下列微分方程的通解： （1）y ycosx e（3）

sinx

； （2）y' ytanx sin2x；

（5） x 2 y y 2 x 2 ；（6）y3dx (2xy2 1)dy 0；

3

ds1

scost sin2t； （4）y 2xy 4x； dt2

sinx

答案 ：(1) y (x C)e；(2) y Ccosx 2cosx；

x2

2

(3) s Ce sint sint 1； (4) y 2 Ce；

1

(5) y (x 2)3 C(x 2);（6）x 2(ln|y| C)

y2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y' 2y e x，y|x 0

x

5

； 4

2 3x2

y 1 y|x 1 0； （2）y

x3

（3）y ytanx secx，y|x 0 0； ysinx

，y|x 1；

xx

cosx

（5）y ycotx 5e，y| 4；

（4）y

x 2x e

（6）xlnxdy (y lnx)dx 0, y

答案 (1) y 2e2x

1.

1

1

x133x2x

； e ； (2) 2y x xe

24

(3) y xsecx； (4) y (5) ysinx 5e

3求解方程

cosx

1

( 1 cosx)； x

1 . lnx

1； （6）y lnx

1 2

dyd d y (x), (x)是x的已知函数. dxdxdx

d d

,Q(x) (x), dxdx

解 原方程实际上是标准的线性方程，其中P(x) 直接代入通解公式，得通解

d d dx d dxdx dx (x)edx C e (x)[ (x)e (x)d C] (x) 1 Ce (x). y e

dx

4. 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动. 设力F仅是时间t的函数: F F(t). 在开始时刻t 0时F(0) F0, 随着时间t的增大, 此力F均匀的减少, 直到t T时, F(T) 0. 如果开始时质点位于原点, 且初速 …… 此处隐藏：9388字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……