随机过程复习课及考试要求

中南大学研究生随机过程考试题库

考试要求：

第一章：随机过程及其分类

（1） 了解随机过程和有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的n维分布函数、分布密

度的概念。

（2） 理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质，

并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。

（3） 了解随机过程的分类方式及分类。

（4） 了解两个随机过程的联合分布的概念。会计算联合随机过程的互协方差函数和互相

关函数。

第二章：Markov过程

（1） 理解马氏链及其转移概率的定义和性质。理解齐次性的概念。了解独立增量过程与

马氏过程的关系。

（2） 掌握C-K方程，并能利用C-K方程计算转移概率。

（3） 了解状态的常返性、遍历性的概念。掌握遍历性的主要定理的条件和结论。能对简

单齐次马氏链的状态进行分类。

（4） 掌握马氏链的极限性质，掌握平稳分布的概念，能对简单的齐次马氏链找平稳分布。 （5） 掌握纯不连续马氏过程转移概率的概念，掌握转移率矩阵（Q矩阵）的定义和求法。 （6） 掌握前进方程、后退方程及福克－普朗克方程，会利用此方程求过程的均值函数。 （7） 理解生灭过程的定义，并能写出生灭过程的Q矩阵。

第三章：Poission过程

（1） 掌握独立增量过程、正交过程及计数过程的定义。

（2） 掌握Poission过程的定义及一维分布，会求此过程的数字特征。 （3） 掌握Poission过程与指数分布之间的关系。

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第四章：二阶矩过程、平稳过程和随机分析

（1） 掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。

（2） 了解均方极限、均方连续、均方导数和均方积分的概念，会判断一个随机过程的均

方连续性及均方可导性。掌握均方导数过程的相关函数于原过程的相关函数之间的关系。

（3） 掌握平稳过程各态历经性的概念。了解判断均值、相关函数具有各态历经性的定理。

第六章：高斯（Gauss）过程

（1） 掌握n维正态随机变量的分布密度、特征函数及基本性质。 （2） 掌握正态过程的定义。了解窄带平稳实正态过程的表示法。

（3） 了解正态马氏过程的概念，掌握正态实平稳过程实马氏过程的充要条件。 （4） 掌握维纳过程的定义，会求标准维纳过程的数字特征。会求偏移系数为 ，强度为

2的维纳过程的相关函数。

典型复习题

（1） 设{X(t),t 0}是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为

E{X(s)X(t)} B(t s),s t，且是一个周期为T的函数，即B( T) B( ), 0，求方差函数D[X(t) X(t T)]。

（2） 试证明：如果{X(t),t 0}是一独立增量过程，且X(0) 0，那么它必是一个马

尔可夫过程。

（3） 设随机过程{Wt,t 0}为零初值（W0 0）的、有平稳增量和独立增量的过程，

且对每个t 0，Wt~N( , t)，问过程{Wt,t 0}是否为正态过程，为什么？

（4） 设{Bt}为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并

说明理由。

2

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（5） 设Nt，t 0是零初值、强度 0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均

方意义下，Yt

Nds,t 0是否存在，为什么？

s

t

（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0

表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：

pP 00

p10p01 0.750.25

p11 0.50.5

试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。

（7） 设齐次马氏链 Xn,n 0 ,S 1,2,3,4 ,一步转移概率矩阵如下：

01/21/2 0

001/21/2

P

1/21/200 1/21/200

（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）； （b）求n步转移概率矩阵；

（c）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？

N(t)

（8） 设Y(t) X( 1),t 0，其中{N(t);t 0}为强度为 0的Poission过程，随

机变量X与此Poission过程独立，且有如下分布：

P{X a} P{X a} 1/4,P{X 0} 1/2,a 0

问：随机过程Y(t),t

0是否为平稳过程？请说明理由。

2

（9） 设Xt X 2Yt,t 0，其中X与Y独立，都服从N(0, )

（a）此过程是否是正态过程？说明理由。 （b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。

（10） 设Nt，t 0是零初值、强度 1的泊松过程。

（a）求它的概率转移函数p(s,t,i,j) P{Nt jNs i}； （b）令Xt Nt t,t 0，说明Y

Xdt存在，并求它的二阶矩。

t

1

（11） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不

断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以Yn表示第n次取出球后的累计积分，n 0,1, （a）Yn，n 0,1, 是否齐次马氏链？说明理由。

（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移

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概率pij和两步转移概率pij(2)。

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