第九章 方差分析 单因子方差分析 双因子方差分析 1、非重复试验双因子方差分析 2、重复试验双因子方差分析

概论在生产及科研工作中，人们常常需要了解 哪些因素对试验结果有显著作用，哪些因素没 有显著作用。例如：施肥品种、施肥量、种子品种、下 种量、土质、水份等诸因素中哪些对小麦的产 量有显著影响，哪些又没有。 这类问题可通过方差分析的方法予以解决。

§9﹒1单因子方差分析Ⅰ概念及例子 Ⅱ数学模型 Ⅲ离差分解 Ⅳ H0的检验 Ⅴ i j的区间估计

一、概念及例子方差分析是对试验结果的数据作分析的一种常用的统计 方法。我们在显著性假设检验中已讨论过两总体均值是否相 等的检验，这种问题可称为单因子(素)二水平的试验。在本小节中我们要讨论单因子(素)多水平的试验，我 们将发现它实际上是多个总体的均值是否相等的显著性检验。 在正态总体和方差相等的基本假定下，这类假设检验问 题称为单因子方差分析或一元方差分析。

例9.1

为了比较四种不同的肥料对小麦产量的影响， 取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土 地，分成16块。肥料品种记为A1,A2,A3,A4, 每种肥料均按比例施在四块土地上，得亩产量如 下：

品 亩产 种 田块 1 2 3 4

A1981 964 917 669

A2607 693 506 358

A3791 642 810 705

A4901 703 792 883

问施肥品种对小麦亩产有无显著性影响？

例9.2

某灯泡厂用四种不同的配料方案制成的灯丝 生产了四批灯泡，在每一批中任取若干个作寿命 试验，得如下数据(单位：小时) 灯 寿命 泡 1 2 3 4 5 6 7 8 灯丝 甲(A1) 乙(A2)1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 1580 1640 1640 1700 1750

丙(A3)丁(A4)

1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 18201510 1520 1530 1570 1600 1680

问灯丝的不同的配料方案对灯泡寿命 有无显著影响？

例9.1中的肥料品种和例9.2中的不同 配料的灯丝称为因子或因素，记为A, 这里都只有一个因子。各种肥料或不同 配料方案称为水平。 一般地，因子A 有r个水平A1,A2,…,Ar .

二、数学模型设有r个正态总体Xi,i=1,…,r, Xi ~ N( i, 2), 作假设 H0 : 1= 2= … = r 独立地从各总体中取出一 个样本，列成下表： 总体 样 本 样本均值

X1 Xr

X11 , X12 , , X1n1 Xr1 , Xr 2 , , Xrnr

X1 Xr

用以上r个样本检验上述假设H0 是否成立。(水平为 )

在应用上，上述问题等价于：因子A有r 个水平A1,A2,…,Ar ,设在每一种水平下试 验结果都服从正态分布，现在各种水平作若 干次试验获得一些观测值，问因素A的各种 水平对试验结果是否有显著影响？显然，检验可用t –检验法：所有相邻两 个总体的均值是否相等

。共做r–1次检验， 太繁琐！ 通常采用离差分解法去解决这个问题。

三、离差分解将每个样本看成一个组，记组内平均为1 Xi ni

Xj 1

ni

ij

, i 1,2, , r,

Xj 1

ni

ij

n i Xi

总平均

r 1 r ni X X ij , n ni n i 1 j 1 i 1 r ni

组内离差平方和 Se ( Xij Xi )2i 1 j r

组间离差平方和

S A n i ( X i X) 2i 1

离差平方和ST ( X ij X )2 ( X ij X i X i X )2i 1 j 1 i 1 j 1 r ni r ni

Se S A四、H0的检验

(9.1)

令 Xij i ij , j 1,2, , ni , i 1,2, , r

其中令

ij ~ N(0, ).2

iid

1 r ni i , i i n i 1

则

n i 1 i i i 1 j 1ni

r

r

ni

i

0,

(9.2)

X ij i ij ,1 令 i ni

j 1,2, , ni , i 1,2, , r (9.3)

1 r ni ij , i 1,2, , r, n ij j 1 i 1 j 1

则r

Se ( ij i )2i 1 j 1r r 2 i 2

r

ni

S A n i n i ( i ) 2 n i i ( i )i 1 i 1 i 1

E ( Se ) E[ ( ij i ) 2 ]i 1 r j 1

r

ni

(ni 1) 2 (n r ) 2i 1r

E ( S A ) ni E[ ni i n ]i 1 2 i 2 2 i 1

r

2 ni i E ( i )i 1

r

ni i2 (r 1) 2i 1

r

故

Se E( ) 2 n r SA 1 r E( ) 2 ni i2 r 1 r 1 i 1 Se SA E( ) E( ) r 1 n r

(9.4)

(9.5)

可见，一般地说，有

但在H0成立时， i 0, i 1,2, , r 从而Se SA E( ) E( ) r 1 n r

ST ( ij ) 2 且i 1 j 1 r ni

r

ni

( ij i ) 2 ni ( i ) 2 S e S A

r

i 1 j 1

r

ni

i 1 j 1 r ni 2 ij i 1 j 1r ni

i 1

( ij ) ( ij ) n 2 2 i 1 j 1 r 2 2 2

r

ni

2

( ij i ) ni ( i ) n (9.6)i 1 j 1 i 1

即

i 1 j 1

r

ni

2 ij

Se S A n .

2

定理9.1(柯赫伦定理见P166定理6.2.3

设 X1 , , Xn ~ N(0, 1), Q Xi2为 2 (n)变量,i 1

iid

n

若Q=Q1+…+Qk,其中Qi为某些正态变量的平 方和，这些正态变量分别是X1,…,Xn的线 性组合，其自由度为fi ,则诸相互独立，

且为

2 ( f i )变量 f i n.i 1

k

方差分析表来 源 离差平方和 自由度 均方离差2

F值

组间(因子A) S A 组内(误差e) 总 和

n xi 1r ni

r

2 i i

nx

SA QA r 1 QA F r 1 QeSe n r Qe n r

S e ST S A

2 ST x ij nx 2 n 1 i 1 j 1

五. i k的区间估计由

于X i X k ( i k ) T ~ t (n r ) 1 / ni 1 / nk Qe

故，给定信度1 ,可得 i k的置信区间

1 1 ( X i X k t / 2 (n r ) Qe ) ni nk其中

Se Qe n r

例9.3

在例9.2中给定 =5%,问灯丝的

不同的配料方案对灯泡寿命有无显著 影响？

解：已知r=4, n1=7, n2=5, n3=8, n4=6, n=26. 计算的下列

方差分析表来 源 离差平方和 自由度 均方离差 F值

因子A误差e 总 和

44,374.6149,970.8 194,345.4

322 25

14,791.56,816.8

2.17

查表知

F (r 1, n r ) F0.05 (3, 22) 3.05 2.17 F

故，接受H0. 即认为灯丝的不同的配料方案对灯泡寿命无显著影响。

§9﹒2 双因子(二元)方差分析一、非重复试验情形 Ⅰ提出问题 Ⅱ一般模型 Ⅲ检验法的导出 二、重复试验情形 Ⅰ提出问题 Ⅱ检验法的导出