哈工程复变函数与积分变换期末试题及答案

ez

dz 0n Cz2. 解答： (1) 当n 0时：由柯西—古萨定理， ……1分

ze2 iez0

dz dz 2 ie 2 i Czn Czn(n 1)!. n 1n 1(2) 当时：； (3) 当时：

f(z)

111z(z i) z i 1z i i

11

z iz i

(1

i

3. 解答：

z i

1n

n

2 (i (1)2 ()(i

in

z in 0z iz in 0z i

n 0

z i

n 2

4. 解答: 被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴上无奇点，在上半平面有一个二级极点z ai. ……1分

x2z2

(x2 a2)22 iRes[(z2 a2)2,ai] =

2 ilim[z2

z ai(z ai)2 2 ilim2zai z ai(z ai)3 2a

ei

z z0

5. 解答: 把|z| 1映为|w| 1w=的映射为

1 z0z，|z0| 1

f(1) 0z12z 1

由2，得

0 2w=ei

，所以2 z f (1 ei 32(2 z)21 4ei

23argf (1 0w 2z 1

，由2，得 0， 于是

2 z.

6. 解答：方程两边取拉氏变换，有

s2

Y(s) sy(0) y (0) 4 sY(s) y(0) 3Y(s) 1s 2 ……2分 Y(s) 111

整理得

(s 2)(s 1) s 1

s 2 ……1分 y(t) L 1[F(s)] e t e 2t.