§2-13 力矩一. 力矩的一般意义 (moment of force)

1.定义：力对空间O点的力矩：

Mo r F

r0

垂直于 r 、F 所决定的平面,组成右手螺旋关系。 方向：力对点的力矩依赖于参考点的位置和力作用点 的位置。 单位: N.s

大小：

M 0 r F sin r0 F

合力的力矩 质点受n个力的作用时的合力对力的作 用点的合力矩: M r Fi

r F1 r F2 ... r Fi ... r Fn Mii

i

即合力对参考点的力矩等于各个分力对该参考 点力矩的矢量和。

二. 力对轴的力矩

Mo r F x Fx

i

j y Fy

k z Fz

yF zFy i zFx xFz j xFy yFx k

M x yF zFy M O i M y zFx xFz M O j M z xFy yFx M O k 力矩矢量沿某坐标轴的分量通常称为力对该轴 的力矩

1、定义：z轴垂直于

r , F 所决定的平面S,Mz 的方向：

的定义：单位：N.m

M z rF sin

r sin ——力臂

2、F 不在垂直于z 轴的平面内 (n k ) 设 F F k F2n 1

M z rF2 sin

—

r , F一定:

= 2, M z = M zm ; =0, , M z = 00 为其它值， M z M zm

r 与 n 的夹角

如果知道力矩矢量的大小和它与z轴之间的夹角 , 力对z轴的力矩为

M z M cos rF sin cos 例题 一个质量为m的质点沿着的平面曲线

r a cos ti b sin t j运动，其中a、b及ω皆为常数。试求此质点所受的

力对原点的力矩。

§2.14 质点角动量守恒定律 (angular momentum of a particle)一、角动量 角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物 理学的许多领域都有着十分重要的应用。 1、质点对固定点O的角动量 (1)定义 L r p r (mv ) 大小： L rp sin rmv sin 单位：kg .m2/sL p

O· r m

方向： 于r,p(v)决定的平面(右螺旋) dim[ L] L2 MT 1 量纲式：

质点作匀速率圆周运动时， 对圆心的角动量的大小为O

L R

v m

L = mvR, 方向 圆面不变。 (2)角动量的大小和方向与参考点的选择有关 同一质点的同一运动，其角动量却可以随参考 点的不同而改变。 锥摆 l m O

LO rom mv

LO lmv

方向变化

v

O

LO lmv sin LO ro m mv

方向竖直向上不变

2、 L

与

p

的比较：

相同点： ①都是描述运动状的量； ②都是矢量； ③都与参考系选择有关。 不同点： ①方向不同：

② L 的大小、方向除与

参考系选择有关外，还与参考点的选择有关。 注意：不仅作圆周运动的质点可谈角动量，作 直线运动的质点也可谈角动量。

(3)对点的角动量 在直角坐标系中的分量形式

Lo r p x px

i

j y py

k z pz

ypz zp y i zpx xpz j xp y ypx k

Lx ypz zp y LO i Ly zpx xpz LO j Lz xp y ypx LO k

例题 一个质量为m的质点沿着的平面曲线

r a cos ti b sin t j运动，其中a、b及ω皆为常数。求质点对原点O的角

动量。

二、角动量定理 1、质点对参考点的角动量定理 (1)微分形式

dL d dr dp = (r p) = p r dt dt dt dt v mv r F r F dL M= dt质点角动量定理

或

dL = Mdt

质点对参考点O的角动量对时间的变 物理意义： 化率等于作用在质上的合力对参考点O的力矩

M 和 L 必须是相对于惯性参考系中的同一点。、

注意：

(2)积分形式

t2

t1t2

M dt L2 L1 Mdt ——冲量矩

质点角动量定理

t1

——力矩对时间的积累作用。

向z轴投影得：因为

dL 在惯性系中,设质点在Oxy平面内运动,将 M dt dL

2、质点对z轴的角动量Mz z

r 、 mv

dt

都在Oxy平面内，所以

L || z

轴，

L Lz rmv sin

0 sin 0, M z 0, Lz 2 ,sin 0, M z 0, Lz 所以 rmv sin 可以表示Lz 的大小和方向。

Lz rmv sin

2、质点对轴的角动量定理：质点对参考点O 的角动量定理在Z轴上的投 影称为质点对轴的角动量定理：

dLZ MZ dt

三、质点的角动量守恒定律(Law of conservation of angular momentum)

1.质点对点的角动量守恒定律 若 M 0 则 L C (恒矢量)0

0

2.角动量守恒的条件: t2 M d t 0 不能作为角动量守恒的条件t1

M0 0

例如：行星绕太阳的运动。

M0 0, 所以行星对太阳中心的角动量守恒，即

L0 C r mv 恒矢量 , 此即开普勒第二定律，

人造卫星绕地球运动， 引力通过地心，所以卫星对地心的角动量守恒。

3. 质点对轴的角动量守恒定律 若 M Z 0 ,则： LZ C 恒量 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一， 它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而 且在高速低速范围均适用。 注意：有心力作用下，角动量不一定守恒，取 决于参考点的选取。

例题 如图 所示，竖直放置的半径 为R的光滑圆环上，在A点有一质量 为m的小球，从静止开始下

滑，若 不计其它阻力，设A点与圆环中心 同高，求小球到达B点时对圆环中 心的角动量和角速度。 解：小球受重力矩作用，由角动量定理：dL M mgR cos dt2 2

(1) (2)

d L mRv mR mR dt mR 2 d 由(2)可得： dt L

(3)

将(3)代入(1)并整理可得到：

LdL m2 gR3 cos d 利用初始条件对上式积分：

L

0

LdL m gR2

3

0

cos d

L 2m gR sin 2 2 3,

2g sin R