谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

有理谱参数估计

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

有理谱参数估计

谱估计的方法

ARMA模型 ARMA模型的分类 ARMA模型的求解

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

谱估计的方法信号频谱的估计是信号分析的重要手段，也是信号综合 的前提。就目前而言，信号频谱估计的方法通常被分为经 典谱估计和功率谱的参数法(现代谱估计)两大类。 经典谱估计 属于线性估 计，而现代 谱估计属于 非线性估计。

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

AR模型和MA模型的简介： AR模型可以用三种方法等效地表达：自相关函数值、 AR模型参数以及反射系数。 AR(k)和AR(k+1)模型的递推关系：模型参数迭代关系 的Levinson - Durbin算法和预测误差迭代关系的格形 滤波器。 在三种AR模型参数提取方法：自相关法、协方差法 和Burg法中，自相关法的性能稍差些，其他两种方 法的性能相近 MA模型法实际上就是自相关法谱估计，也与周期图 法谱估计是等效的。

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ARMA模型法：ARMA模型的分类： p阶AR模型： βj全部为0。x(n) = ∑ α j x( n - j ) + w(n)j =1 p

q阶MA模型：αj全部为0。x(n) = w(n) + ∑ β j w(n - j )j =1 q

普通的ARMA模型：αj 和βj都不全为0。x( n) + ∑ α j x(n - j ) = w(n) + ∑ β j w(n - j )j =1 j =1 p q

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ARMA模型法：任何ARMA(p, q)模型可用某一AR(∞)模型描述：1 + ∑ βk z -k 1 + ∑αk zk =1 k =1 p -k q

H ARMA( p , q ) ( z ) =

H AR ( m ) ( z ) =

1 1 + ∑ α k z -kk =1 m

1 + ∑ βk z -k 1 + ∑ α k z -kk =1 k =1 p

q

= 1 + ∑ ck z - kk =1

+∞

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ARMA模型法：根据x0, x1 … xN-1 这一随机采样样本通过ARMA模 型估计随机时间序列的功率谱密度。x( n) + ∑ α j x(n - j ) = w(n) + ∑ β j w(n - j )j =1 j =1 p q

B( z ) H ( z) = = A( z )

∑βk =0 p k =0

q

k

z -k , α 0 = β0 = 1

α k z -k ∑

S (z) = σ2 H (z) H (z -1 )

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ARMA模型法：求解目标： 模型阶数p和q。 模型参数αi,i=1, 2 ... p、 βi,i=1, 2 … q和白 噪声的方差σ2 。 求解方法： 假定模型阶数p和q。 模型阶数已知时对模型两边同求某种统计特 征以将随机变量转化为确定性的量。 对各种阶数下的模型进行比较应用某种准则 选出最好的模型。

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ARMA模型法：根据随机采样样本求ARMA(p, q)模型的参数： 求R(m):R ( m) = E{x ( n) x ( n + m)}-∑ α k R ( m - k ) + σ 2 ∑ β k + m h ( k ) , 0 ≤ m ≤ qp q -m

R ( m) =

-∑ α k R ( m - k ) ,k =1

k =1 p

k =0

m ≥ q +1

其中：h(n)为ARMA模型系统的冲激响应。

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ARMA模型法：-∑ α k R ( m - k ) + σ 2 ∑ β k + m h ( k ) , 0 ≤ m ≤ qp q -m

R ( m) =

-∑ α k R ( m - k ) ,k =1

k =1 p

k =0

m ≥ q +1

上式第二个方程写成展开形式(p个方程):R(q -1) L R(q - p + 1) a1 R(q + 1) R(q) R(q + 1) R(q) L R(q + p + 2) a2 R(q + 2) = M M M M M M a

p R(q + p) R (q + p -1) R(q + p - 2) L R(q) 给定q + 1 ≤ m ≤ q + p范围内的R(m), 可解此方程得{a }, k = 1, 2,L , pk

从而得A( z ) = 1 + ∑ ak z kk=1

p

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ARMA模型法： 求出 A( z ) 后估计如下功率谱密度：X ( z) W ( z) B ( z ) / A( z )p

A( z )n = 0, 1 L N -1

V ( z)

v ( n) = x ( n) + ∑ α k x ( n - k ) ,k =1

由输出序列v ( n )估计Rv ( m),进一步得：

Sv ( z ) =

m =- q

∑

q

Rv (m) z - m

$ S v ( z ) = A( z ) A( z -1 ) S x ( z )

$ S x ( z) =

$ S v ( z) A( z ) A( z -1 )

谱估计的方法,ARMA模型的分类、 ARMA模型的求解(模型阶数的选择)

ARMA模型法：求A(z)参数的改进 问题的提出：当p+q相对于采样时间长度N较大时， 求A(z)参数的方程组中的许多自相关函数值很不 准确，因此得不到A(z)参数好的估计。 改进方法：最小二乘法 R ( m ) = -∑ α k R ( m - k ) ,k =1 p

m = q + 1, q + 2 L M M -q > p

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ARMA模型法：

模型阶数p和q的选择： 用逆滤波器A(z)/B(z)对X(z)进行处理，判断输 出信号U(z)与白噪声的符合程度来选择模型阶 数。 Ru (k) Q = ∑ R (0) k =1 u M 2

其中：M为某一常数，具体的值可以根据逆 滤波器A(z)/B(z)冲激响应的有效长度来选择。