第五章

二次型

一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、惯性定理 六、正(负)定二次型的概念 七、正(负)定二次型的判别1

一、二次型及其标准形的概念定义1 含有n个变量 x1 , x 2 , , x n的二次齐次函数2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn

2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn

称为二次型.当aij是复数时 , f称为复二次型 ; 当aij是实数时 , f称为 实二次型 .

只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn 称为二次型的标准形(或法式). 例如2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3

为二次型的标准形. 只含有平方项的且形如以下二次型 2 2 2 2 f y1 y p y p 1 yr 称为二次型的规范形3

二、二次型的表示方法1.用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 , , x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n 2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n 1,n x n 1 x n取 a ji a ij , 则2 a ij x i x j a ij x i x j a ji x j x i ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n

a ij x i x j .i , j 14

n

2.用矩阵表示 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n x1 ( a11 x1 a12 x 2 a1n x n ) x 2 ( a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n ( a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n ) a11 x1 a12 x 2 a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x1 , x 2 , , x n ) a n 2 x 2 a nn x n a n 1 x1 5

a11 a 21 x1 , x 2 , , x n a n1 a11 a12 a21 a22 记 A a n1 a n 2

a1 n x1 a 22 a 2 n x 2 a n 2 a nn x n a1n x1 a2 n x2 , x , x ann n a12

则二次型可记作f X T AX , 其中A为对称矩阵 .6

三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型.这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系.对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.7

例1 写出二次型

f

x 2 x 3 x 4 x1 x2 6 x2 x32 1 2 2 2 3

的矩阵及秩解

a11 1 , a 22 2 , a 33 3 , a12 a 21 2 , a13 a 31 0 , a 23 a 32 3.

0 1 2 0 1 2 A 2 2 3 ~ 0 1 1 . 0 3 3 0 0 1

二次型秩为 3

四、化二次型为标准形

1.配方法P206例2 2.正交线性替换法3.初等变换法9

四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形. x1 c11 y1 c12 y 2 c1n y n , 设 x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2n n x n c n1 y1 c n 2 y 2 c nn y n 记C (c ij ), 则上述可逆线性变换可 记作

X CY10

X CYT

将其代入 f X T AX , 有T

f X AX CY A CY Y T C T AC Y Y T BY .

矩阵的合同 设A,B为两n阶矩阵，存在可逆矩阵 ， C 使得 B C ACT

则称矩阵A,B合同。记为 ~ B A

说明1. 二次型经可逆变换 CY后, 其秩不变, 但 f X 的矩阵由A变为B C T AC ;2 . 要使二次型 经可逆变换 X CY变成标准形, f 就是要使2 2 (CY )T A(CY ) k 1 y12 k 2 y2 k n yn

k1 k2 ( y1 , y 2 , , y n ) k n 也就是要使C T AC成为对角矩阵.

y1 y2 , yn

由于对任意的实对称矩 A, 总有正交矩阵 , 阵 P 使 P AP , 即 P AP .把此结论应用于二次T 1

型, 有

定理 任给二次型 f X AX , 总有T

正交变换X PY , 使 f 化为标准形2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,

其中 1 , 2 , , n是 f 的矩阵 A aij 的特征值 .

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤

1. 将二次型表成矩阵形式 X AX , 求出A; fT

2. 求出A的所有特征值 1 , 2 , , n ;

3. 求出对应于特征值的特 征向量 1 , 2 , , n ;

4. 将特征向量 1 , 2 , , n正交化, 单位化, 得

1 , 2 , , n , 记C 1 , 2 , , n ;2 f 1 y12 n yn .

5. 作正交变换 CY , 则得f的标准形 X14

例2

将二次型2 f 17 x12 14 x22 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3

通过正交变换 X PY , 化成标准形.

解 1.写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14

17 A E 2 2

2 14 4

2 4 14

18 9 215

从而得特征值 1 9, 2 3 18. 2.求特征向量 将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系

将 2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系1

(1 2,1,1) .TT

2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .T

3.将特征向量正交化取

1 1,1

2 2 ,T

3 3

得正交向量组 (1 2,1,1)

, 3 2 , , 2 22

,

2 ( 2,1,0) ,TT

3

( 2

5, 4 5,1) .16

4.将正交向量组单位化，得正交矩阵 P i 令 i , i

i 1,2,3 ,

得

1 1 2 2

2 5 2 45 3 3 , 2 1 5 , 3 4 45 . 0 5 45 3 2 45 4 45 . 5 45 17

所以

1 3 2 5 P 2 3 1 5 2 3 0

于是所求正交变换为 x1 1 3 2 5 2 45 y1 x2 2 3 1 5 4 45 y2 , x 2 3 0 5 45 y3 3 且有2 2 2 f 9 y1 18 y 2 18 y 3 .

例3 求一个正交变换x Py , 把二次型f 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x1 x 4 2 x 2 x 3 2 x2 x4 2 x3 x4 化为标准形. 解1 1 1 0 0 1 1 1 二次型的矩阵为 A , 1 1 0 1 1 1 1 0

它的特征多项式为19

A E 1 1

1 1

1 1

1 1 1 .

1 1 1 计算特征多项式 : 把二, 三,四列都加到第一列上, 有 1 A E ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1

把二, 三,四行分别减去第一行, 有20

1 A E ( 1) 0

1 2

1 2 1 0

1 2 2 1

0 1

0 0 2 2 1 ( 1) 2 12 2

( 1) ( 2 3) ( 3) ( 1) .3

于是A的特征值为 1 3, 2 3 4 1. 当 1 3时, 解方程( A 3 E ) x 0,21