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小波变换在信号处理中的应用

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一.小波变换应用于噪声抑制：

利用Mallet算法对输入信号f(t)进行小波 分解，再根据对信号和噪声的先验知识 分离信号和噪声。提过滤波形成新的小 波分量，最后重建信号。

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f (t ) S (t ) N (t ) W ( f ) W ( S ) W ( N )

小波分解

滤波

重建信号

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信号与噪声被小波变换分离：

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Donoho 去噪方法：

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不同阀值选取算法的去噪结果：

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研究重点：

信号与噪声在小波变换域上的特征。 小波基的选择。 阈值的选取方法。

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二.小波变换应用于信号检测：

瞬时信号检测问题。在噪声中检测短时，非平稳，波形和到达时间 未知的信号。

H0 : H1 :

x(t ) n(t ) x(t ) S (t ) n(t ) t [0, T ] 其中：S (t )只在[t0 , t0 T0 ]非零。 n(t )为噪声。T0 T

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我们可以假设： S (t ) Ai exp{ ai (t ti )}sin( i (t ti ) i )u (t ti )i 1 N

其中：Ai ai ti

信号幅度； 衰减系数 到达时间 频率 初始相位

i i

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由

c j ,k S , j ,k | c j ,k | 在k ti 两边呈指数衰减，且达 到局部极值。 2j 由于小波变换得多尺度 特性，我们可以选择不 同 的j,利用不同的时域和频 域分辨力，了解信号的 的全貌，从而使基于小 波变换的信号检测器具 有 较好的鲁棒性。

可以得到: (1) (2)

(3)

若在观测时间内，有多 个信号到达，我们可以 选择 适当的j,使时间尺度尽可能的 小，从而使不同信号 的峰值出现在不同的 上，由此分离信号。 k

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方法： 对输入信号进行多尺度 的小波变换，检测其变 换结果 的局部极值点。 性能： 优于能量检测器，接近 与匹配滤波器。

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小波变换应用于信号分析(信号的奇异性分析) 若f(t)在某处间断或某阶导数不连续， 则称f(t)在此点有奇异性。 Fouier变换可以分析函数的整体的 奇异性，但不能推断奇异点的空间(时 间)分布情况。

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定义：设n n 1, 若在某点x0 , 存在常数A与h0,及一个 n阶多项式Pn (h), 使 f ( x0 h) Pn (h) A | h |a 则称f ( x)在点x0具有Lipschitz指数 。 0 h h0

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注：( )若A和 与x0无关，则称为一致 1 Lipschitz指数。 (2)f ( x)在点x0的Lipschitz指数的上界，则称为 ( x) f 在点x0的正则度。 我们下一步需要考虑： 是否能由小波系数的特 性来推测f ( x)奇异性。

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定理：设f ( x) L2 , x [a, b],0 1, 则： f ( x)在[a , b ]具有一致Lipschitz指数的充要条件是： 存在常数A,使： | W ( f )(x, s) | As x [ a, b]

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定理：

设f ( x) L2 , x [a, b],0 1, 则： f ( x)在x0具有Lipschitz指数 , 则： 存在常数A,使： | W ( f )(x, s) | A( s | x

x0 | ) x属于x0的某个邻域 . 反过来，若 1. | W ( f )(x0 , s) | As | x x0 | 2. | W ( f )(x0 , s) | B( s ) | log | x x0 || 则f ( x)在x0具有Lipschitz指数

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奇异性分析的方法：

光滑函数。一个实函数 ( X ), 满足：+

-

( X )dx 1

x

lim ( X ) 0

例如，可取为高斯函数或B_样条函数。

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d ( x ) 定义： ( x) dx 1 W 1 ( f )(x, s ) f ( x)1

d s f (s )(x) dx df s s ( x) dx

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d ( x) 定义： ( x ) 2 dx W 2 ( f )(x, s ) f 2 ( x )2 2

d s f (s )(x ) 2 dx d 2 ( f s ) s ( x) 2 dx2 2

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从而，W 1 ( f )(x, s)的局部极值点 f ( x)的拐点 W 2 ( f )(x, s)的零点。