函数奇偶性的性质及其应用

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数。

其判定的法则是：（1）看关系式是否出现f( x) f(x)（此为奇函数）或f( x) f(x)（此为偶函数），（2）看定义域是否关于原点对称；（3）看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此为偶函数）。显然，法则（1），（2）与法则（3）是等价的。也就是说，一个函数不满足这三条法则中的任何一条，它是非奇非偶函数；如果函数f(x)满足了法则（1），（2）或者满足法则（3），则可判定它的奇偶性。

因此，就奇偶性而言函数可以分为四类：①奇函数；②偶函数；③既是奇函数又是偶函数；④非奇非偶函数。

设f(x)是奇函数，如果当x>0时，f(x) g(x)，则 f(x)

g(x)(x 0) g( x)(x 0)

（证明从略，类似情况略）。

设f(x)是奇函数，如果当x>0时，f(x)是增函数，则当x<0时，f(x)仍然是增函数（证明从略，类似情况略）。

一. 判断函数的奇偶性

例1. 判定函数f(x) 1 x2

2

x 1的奇偶性。

2

1 x 0

解：函数的定义域满足 2，即为{ 1，1}，函数的图象表示两个点：（-1，0），

x 1 0

（1，0）。其图象既关于原点对称，又关于y轴对称。从而函数f(x)既是奇函数又是偶函

数。

二. 求函数的函数值 例3. 设f(x)

a

x

a2

x

b logc(x

x

2

1) x（其中a,b,c为常数），且f( 2) 5，

2

试求f(2)的值。 解：设g(x)

a

x

a2

x

b logc(x

x

2

1)，易证g(x)是奇函数，故

g( 2) g(2)，f(x) g(x) x2 于是

f( 2) g( 2) 4 f(2) g( 2) 4

(1)(2)

两式相加得：f(2) 8 f( 2) 8 5 3，即f(2) 3

三. 函数的解析式

例3. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) lg(x 1) 2x2 1。试求此函数的解析式。

解：（1）当x＝0时，f(0) f( 0) f(0)，于是f(0) 0；

（2）当x<0时， x 0，则f( x) lg( x 1) 2( x)2 1，由于f(x)是定义在R上

的奇函数，则

f(x) f( x) lg( x 1) 2x2 1 此函数的解析式为

lg( x 1) 2x2 1(x 0)

f(x) 0(x 0)

32

x 2x 1(x 0)

例4. 设x ( 1，1)，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x) g(x) 2x lg(1 x)，求f(x)的表示式。

解：f(x)是奇函数，有f( x) f(x)；g(x)是偶函数，有g( x) g(x)，则

f(x) g(x) 2x lg(1 x) f( x) g( x) 2( x) lg(1 x) f(x) g(x) 2x lg(1 x) f(x) g(x) 2x lg(1 x)

即

)

两式相减得f(x) 2x

12

lg(

1 x1 x

四. 解不等式

例5. 解不等式(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 120

解：设f(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)，因f( x) f(x)，则f(x)是偶函数，即f(x)的奇数次方为0，可设f(x) 2x4 Ax2 48，以x＝1代入，得 2 14 A 12 48 (1 1)(1 2)(1 3)(1 4) (1 1)(1 2)(1 3)(1 4) 解得A＝70，即f(x) 2x4 70x2 48，原不等式可化为： 2x4 70x2 48 120 即x4 35x2 36 0 即(x2 36)(x2 1) 0 因而x2 1，x 1或x>1

例6. （2004年上海卷）设奇函数f(x)的定义域是［-5，5］。当x [0，5]时，f(x)的图象如图1，则不等式f(x)<0的解是______________。

图1

解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质，画出函数y f(x)在区间［-5，5］上的图象如图2，易知不等式f(x) 0的解是( 2，0) (2，5]。

图2

五. 在二项式的展开式中的应用

例7. 若(1 2x 3x2 4x3)11(1 2x 3x2 4x3)11 a66x66 a65x65 a1x a0，求a65 a1的值。

解：设f(x) (1 2x 3x2 4x3)11(1 2x 3x2 4x3)11，则f(x)是偶函数 则f(x) a66x66 a65x65 a1x a0的奇数次方的系数 a65 a63 a3 a1 0 则a65 a1 0

六. 函数的奇偶性的综合应用题 例8. 已知函数f(x)

b N ，且f(1)

ax

2

1

bx c

(a 0，b 0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中

52

（1）试求f(x)的解析式；

（2）问函数f(x)的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

解：知函数y f(x)(a 0，b 0)是奇函数，f( x) f(x)，则c＝0 由于f(x)

2

ab

x

1bx

2

ab

2

，所以a b2，又a b2，又f(1)

a 1b

52

，于是

2b 5b 2 0

1

解得 b 2，又b N

2

所以b＝1，a＝1 所以f(x) x

1x

x

2

（2）设点（x0，y0）存在关于点（1，0）对称点（2 x0，y0），此两点均在函数y 的图象上，则y0

x0 12

2

1x

2

， y0

(2 x0)

2

1

2 x0

2，从而，当x0 1

2时，得

联立以上两式得x0 2x0 1 0，即x0 1

y0 22；当x0 1

2时，得y0 22

即存在点（1 2，22），（1 2， 22）关于点（1，0）对称。