11 22.( 12分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,

过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆

. (Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.

【解析】(Ⅰ)设(,0)-F c

由c a =

知,a =过点F 且与x 轴垂直的直线为,x c =-代入椭圆方程有2222()1,c y a b -+=

解得y =

=

解得b =又222-=a c b ，

从而1a c ==，所以椭圆方程为22

1,32

x y +=. (Ⅱ)设1122(,),(,)C x y D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1),y k x =+由方程组22(1),1,3

2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(23)6360.+++-=k x k x k

可得22121222

636,.2323k k x x x x k k -+==++

因为(A

B

所以11222211··(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y +=⋅-+⋅-

212121212222212122

622622(1)(1)

2126(22)2()2623x x y y x x k x x k k x x k x x k k =--=--+++=-+-+-=++ 由已知得22

2126823k k ++=+

，解得k =