第3章重点

电阻电路的一般分析

熟练掌握电路方程的列写方法： 熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 回路电流法 节点电压法

线性电路的一般分析方法 (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 系统性：计算方法有规律可循。 系统性：计算方法有规律可循。 方法的基础 (1)电路的连接关系 定律。 )电路的连接关系—KCL,KVL定律。 , 定律 (2)元件的电压、电流约束特性。 )元件的电压、电流约束特性。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压 、 复杂电路的一般分析法就是根据 及元件电压 和电流关系列方程、解方程。 和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同 可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。 可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。

网络图论

AB D

A C B D

C

3.1 电路的图1. 电路的图R1 R3 i 抛开元 件性质

n=51

b =88 3 5

R2 + uS _ R5

R41 5 2 6 4 3

2 7

4 6

元件的串联及并联 组合作为一条支路

一个元件作 为一条支路

n= 4

b=6

有向图

(1) 图(Graph)

G={支路，节点} 支路，节点 支路

① 1 ②

(2) 路径

从图G 从图G的一个节点出发沿着一些支路连续 移动到达另一节点所经过的支路构成路 经。 图G的任意两节点间至少有一条路经 时称为连通图， 时称为连通图，非连通图至少存在两 个分离部分。 个分离部分。

(3)连通图

(3) 子图

若图G 中所有支路和结点都是图G中 若图 1中所有支路和结点都是图 中 的支路和结点，则称G1是G的子图。 的支路和结点，则称 的子图。 的子图

树 (Tree)

T是连通图的一个子图满足下列条件： 是连通图的一个子图满足下列条件： (1)连通 (1)连通 (2)包含所有节点 (2)包含所有节点 (3)不含闭合路径 (3)不含闭合路径

树

不 是 树

树支：构成树的支路 树支：

连支：属于G而不属于 的支路 而不属于T的支路 连支：属于 而不属于

特点

1)对应一个图有很多的树 ) 2)树支的数目是一定的： 树支的数目是一定的： 连支数： 连支数：

bt = n 1

bl = b bt = b (n 1)

回路 (Loop)

L是连通图的一个子图，构成一条闭合 是连通图的一个子图， 路径，并满足：(1)连通(2)每个节点关 连通(2) 路径，并满足：(1)连通(2)每个节点关 联2条支路 1 2 7 5 8 4 3 5

1 7 6

2 5 8

3

2

不是 回路

4

回路

特点

1)对应一个图有很多的回路 ) 基本回路的数目是一定的， 2)基本回路的数目是一定的，为连支数 3)对于平面电路，网孔数为基本回路数 对于平面电路，

l = bl = b (n 1)

基本回路(单连支回路 基本回路 单连支回路) 单连支回路 6 4 2 1 3 1 5

基本回

路具有独占的一条连枝 6 2 1 3 3

5 2

结论结点、 结点、支路和 基本回路关系

支路数=树枝数+ 支路数=树枝数+连支数 结点数- + =结点数-1+基本回路数

b = n+ l 1

例

图示为电路的图， 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 本回路。 1 4 8 3 5 6 7 2 8 5 6 7 4 8 3 6

4 8 2 3

割集Q (Cut set ) 割集 Q是连通图 中支路的集合，具有下述性质： 是连通图G中支路的集合 具有下述性质： 是连通图 中支路的集合， (1)把 中全部支路移去 图分成二个分离部分。 中全部支路移去， (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回 中一条支路，仍构成连通图。 任意放回Q (2)任意放回 中一条支路，仍构成连通图。 6 6 1 9 2 3 8 5 4 7 9 2 1 3 8 5 4 7

割集： )(2 )(3 )(4 )( )(5 割集：(1 9 6)( 8 9)( 6 8)( 6 7)( 7 8) )( )( )( ) )(3 (3 6 5 8 7)( 6 2 8)是割集吗？ )( )是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数= 只含有一个树枝的割集。割集数=n-1 连支集合不能构成割集

3.2 KCL和KVL的独立方程数 和 的独立方程数1.KCL的独立方程数 的独立方程数 1.2 1 1 6 4 4 3 5 1 2 3 2 3 4 1

i1 i4 i6 = 0 i1 i2 + i3 = 0 i2 + i5 + i6 = 0 i3 + i4 i5 = 0

+ 2 + 3 + 4 =0

结论 n个结点的电路 独立的 个结点的电路, 独立的KCL方程为 个。 方程为n-1个 个结点的电路 方程为

2.KVL的独立方程数 的独立方程数 2.KVL的独立方程数 基本回路数 -(n-1) 的独立方程数=基本回路数 的独立方程数 基本回路数=b- -

结 论

n个结点、b条支路的电路 独立的 个结点、 条支路的电路 条支路的电路, 个结点 KCL和KVL方程数为： 方程数为： 和 方程数为

(n 1) + b (n 1) = b

3.3 支路电流法 (branch current method )1. 支路电流法以各支路电流为未知量列写电路方 程分析电路的方法。 程分析电路的方法。

个节点、 条支路的电路， 对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电 个独立的电路方程， 流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便 个变量。 可以求解这b个变量。

2. 独立方程的列写个结点中任意选择n-1个结点列写 (1)从电路的 个结点中任意选择 个结点列写 )从电路的n个结点中任意选择 个结点列写KCL方程 方程 (2)选择基本回路列写 )选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程 个 方程

例 i2 1 R1 R21

2 i3 R3

个支路电流， 个方程。 有6个支路电流，需列写 个方程。 个支路电流 需列写6个方程 KCL方程 方程: 方程 1 i +i i = 0

R4

2

i4 3

2 3

i2 + i3 + i4 = 0 i4 i5 + i6 = 0

1

2

6

i1 3 4 R5

i5

取网孔为基本回路， 取网孔为基本

回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程 写方程: 针方向绕行列 写方程

i6 回路 回路1回路2 回路

回路3 回路 结合元件特性消去支路电压得： 结合元件特性消去支路电压得：

R6

+ u – S

u2 + u3 u = 0 1 u4 u5 u3 = 0 u + u5 + u6 = uS 1

R2i2 + R3i3 R i1 = 0 1 R4i4 R5i5 R i3 = 0 3

R i1 + R i5 + R6i6 = uS 1 5

支路电流法的一般步骤： 支路电流法的一般步骤：标定各支路电流(电压)的参考方向； (1) 标定各支路电流(电压)的参考方向； 选定( 1)个节点，列写其KCL方程； 1)个节点 方程； (2) 选定(n–1)个节点，列写其 方程 1)个独立回路 方程； ( 1)个独立回路，列写其KVL方程； 方程 (3) 选定b–(n–1)个独立回路，列写其 元件特性代入) (元件特性代入) 求解上述方程， 个支路电流； (4) 求解上述方程，得到b个支路电流； 进一步计算支路电压和进行其它分析。 (5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。 支路电流法的特点： 支路电流法的特点： 支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列 和 方程， 方程 写方便、直观，但方程数较多， 写方便 、 直观 ， 但方程数较多 ， 宜于在支路数不多的 情况下使用。 情况下使用。

例1.I1 7 + 70V –

求各支路电流及电压源各自发出的功率。 求各支路电流及电压源各自发出的功率。 a I2 1 6V + – 2 11 I3 7 解 (1) n–1=1个KCL方程： 个 方程： 方程

节点a: 节点 ：–I1–I2+I3=0(2) b–( n–1)=2个KVL方程： 方程： 个 方程

b 1 1 1 = 7 11 0 = 203 0 11 70

7I1–11I2=70-6=64 11I2+7I3= 6 1 0 1 ∑U=∑US ∑ 2 = 7 64 0 = 406 P = 6×70 = 420W 0 6 7 70

6 1 1 I1 =1218 203 =6A P 1 = 64 11 0 =1218 I = 406 203 = 2A 2 6 11 7

= 2×6 = 12W

I3 = I1 + I2 = 6 2 = 4A

例2.I1 7 + 70V –

列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源) 列写支路电流方程 电路中含有理想电流源) 电路中含有理想电流源 a I2 1 6A b 11 +U

解1. I3 7

(1) n–1=1个KCL方程： 个 方程： 方程

节点a: 节点 ：–I1–I2+I3=0(2) b–( n–1)=2个KVL方程： 方程： 个 方程

_

2

7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U 增补方程： 增补方程：I2=6AI3 7 由于I 已知， 由于 2已知，故只列写两个方程

解2. I1 7 + 70V – I2 1 6A

a 11

节点a: 节点 ：–I1+I3=6避开电流源支路取回路： 避开电流源支路取回路：

b

7I1+7I3=70

例3.I1 7 + 70V –

列写支路电流方程.(电路中含有受控源) 列写支路电流方程 电路中含有受控源) 电路中含有受控源 a I2 1 +5U

解 I3 11 + 7 _ U

节点a: 节点 ：–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U 增补方程： 增补方程：U=7I3

_ b

2

有受控源的电路，方程列写分两步：

有受控源的电路，方程列写分两步： 先将受控源看作独立源列方程； (1) 先将受控源看作独立源列方程； 将控制量用未知量表示，并代入( (2) 将控制量用未知量表示 ， 并代入 (1) 中所列的 方程，消去中间变量。 方程，消去中间变量。

3.4 回路电流法 (loop current method)1.回路电流法 1.回路电流法基本思想 以基本回路中的回路电流为未知量 列写电路方程分析电路的方法。 列写电路方程分析电路的方法。当 取网孔电流为未知量时， 取网孔电流为未知量时，称网孔法 为减少未知量(方程)的个数， 为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中 有一个回路电流。 有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的 线性组合表示。来求得电路的解。 线性组合表示。来求得电路的解。 i3 il2 R3 独立回路为2 独立回路为2。选图示的两个独立 回路，支路电流可表示为： 回路，支路电流可表示为：

a i1 R1 uS1 + – il1 i2 R2 + – b

uS2

i1 = il1

i3 = il 2

i2 = il 2 il1

列写的方程 回路电流在独立回路中是闭合的， 回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一 流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回 自动满足。 次，流出一次，所以 自动满足 路列写KVL方程，方程数为： 方程， 路列写 方程 方程数为： 与支路电流法相比， b (n 1 ) 方程数减少n- 个 方程数减少 -1个。

2. 方程的列写a i1 R1 uS1 + – il1 i2 R2 + – b il2

回路1: 回路 ：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 回路2: 回路 ：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0i3 R3 整理得： 整理得：

(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2

uS2