均值不等式的证明方法

n

若ri 1(i 1,2,...,n)证明

i 1

1ri 1

n

1

1 (r1r2...rn)n

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

当n 2时11 a1

11 a2

2

(1

a1 a2) 2(1 a1)(1 a2)

设p a1 a2,q

(1 q)(2 p) 2(1 p q)

p 2q pq 2q p(1 q) 2q(q 1) p 2q，而这是2元均值不等式因此11 a1

11 a22

n

2

11 a3

11 a4

此过程进行下去

1

2

n

1

因此

i 1

1 ai

1 (a1a2...a2n)2

n

1

令an 1 an 2 ... a2n (a1a2...an)n G

n

有

i 1n

11 ai

11 ai

(2 n)

n

11 G

n

2

n2 n

n

1

2

n

1 (GG

n1 G

2

n

)

2

n

1 G

即

i 1

例3：

已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都 1(1 i n),记R T

n

1n

n

r,S

ii

1n

n

s

i

i

1n

n

t,U

ii

1n

n

u

i

i

,V

1n

n

v，求证下述不等式成立：

ii

i 1

(

risitiuivi 1risitiuivi 1

) (

RSTUV 1RSTUV 1

)

n

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式