致远中学2012届高三第一次教学质量检测(数学)

m 2

n 2故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 …………………8分

联立方程①和②组成方程组解得

（Ⅱ）假设存在点Q，使得该点Q到右焦点F的距离等于

OF

的长。

其焦距c=

y2

1a259=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 …………………11分

OF25 9

=4，右焦点为(4，0)，那么

=4。

2

2

x 4 即：以右焦点F为顶点，半径为4的圆方程为

y2 16

4 x x 0 252 或x 4 y 16

y 0 y 1222

5 …………………14分 x 2 y 2 8 ， 即：

412

OF

即存在异于原点的点Q(5，5)，使得该点到右焦点F的距离等于的长……16分

2xxx

f(x) (x 3x 3) e (2x 3) e x(x 1) e20、解: (Ⅰ)因为………………2分

由f(x) 0 x 1或x 0；由f(x) 0 0 x 1,所以f(x)在( ,0),(1, )上递增,在(0,1)上递

减 ,欲f(x)在 2,t 上为单调函数,则 2 t 0 …………4分

(Ⅱ)证明:因为f(x)在( ,0),(1, )上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x 1处取得极小值e ……………………………6分

13 e2 2, 上的最小值为f( 2) e 又,所以f(x)在

从而当t 2时,f( 2) f(t),即m n ……………………………………………9分

f( 2)

f'(x0)f'(x0)22222

x x (t 1)2 x x (t 1)0000x0x0

33（Ⅲ）证:因为e, e 即为,

22

g(x) x2 x (t 1)2g(x) x2 x (t 1)2

33 令,从而问题转化为证明方程=0

在( 2,t)上有解,并讨论解的个数 …………………………………………11分

2221

g( 2) 6 (t 1)2 (t 2)(t 4)g(t) t(t 1) (t 1)2 (t 2)(t 1)

3333 因,,

所以 ①当t 4或 2 t 1时,g( 2) g(t) 0,所以g(x) 0在( 2,t)上有解,且只有一解………13分

②当1 t 4时,g( 2) 0且g(t) 0,但由于解…14分

g(0)

22

(t 1) 03,所以g(x) 0在( 2,t)上有解,且有两

2

g(x) x x 0 x 0或x 1,所以g(x) 0在( 2,t)上有仅有一解； t 1③当时,

2g(x) x x 6 0 x 2或x 3, 所以g(x) 0在( 2,4)上也有且只有一解……15分 t 4当时,

f'(x0)22

(t 1)xx ( 2,t),满足e0

3综上所述, 对于任意的t 2,总存在0,

xx且当t 4或 2 t 1时,有唯一的0适合题意；当1 t 4时,有两个0适合题意 …………………16分