25.2 圆的对称性第2课时

1.了解圆的中心对称性及旋转不变性； 2.理解圆心角、弧、弦之间的关系定理，能应用定理 解决圆中有关的证明与计算问题.

垂径定圆的轴对称性(圆是轴对称 圆的对称性 图形) 圆的中心对称性 ？?? 理及其 推论

(1)若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°, 你能发现什么？

·

圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形相重合.因此， 圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

(2)若旋转角度不是180°,而是旋转 任意角度，则旋转后的图形能与原图形 重合吗？

B

O

α

A

圆绕圆心旋转任意角度α,都能够与原来的图形重合. 圆具有旋转不变性.

(3)相关概念 圆心角 _______:顶点在圆心的角

圆心角所对的弧 ________________

圆心角所对的弦 ________________

(4)在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之 间的关系A

O B

定 理 推 论

在同圆或等圆中 _______________,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 在同圆或等圆中 _______________,如果两个圆心角以及这两个 角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组

量相等，那么其余各组量都分别相等.

我们知道，把顶点在圆心的圆心角等分成360份，每一 份的圆心角是1°的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧 相等，所以整个圆周角也被等分成360份，我们把每一份这 样的弧叫做1°的弧.

一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数 相等.

【例】已知：如图，点O是∠EPF的平分线上的一点， ⊙O分别交∠EPF两边于点 A、B和C、D. 求证：AB=CD.

证明：作OM⊥AB,ON⊥CD,M,N为垂足. MPO NPO OM AB OM ON ON CD AB CD.N M

推广：若将上题中的点O看作是沿着∠EPF的平分线运动的.在 ∠EPF的每边与圆O有两个交点的时候，是否都能够得到上题 的结论？

1.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、 CD的弦心距，根据本节定理及推论填空： (1)如果AB=CD,那么 ∠AOB=∠COD OE=OF _____________,__________,____________. AB CD

(2)如果OE=OF,那么 AB CD _____________,__________,___________. ∠AOB=∠COD AB=CD

(3)如果 AB CD ,那么

______________,__________,____________. ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF

(4)如果∠AOB=∠COD,那么 OE=OF AB=CD _________,________,_________. AB CD

2.如图，A、B分别为 CD和EF 的中点，AB分别交CD、EF

于点M、N,且AM=BN.求证：CD=EF 证明：连接OA、OB, 设分别与CD、EF交于点H、G ∵A为 CD 中点，B为 EF 中点，

H

G

∴OA⊥CD,OB⊥EF.

故∠AHC=∠BGE=90° 又由OA=OB

, ∴∠OAB=∠OBA 且AM=BN ∴△AHM≌△BGN ∴AH=BG ∴OH=OG ∴DC=EF

①

② ③

1. 如图，在⊙O中，AB= AC ,∠ACB=60°

A

求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC 证明：∵ AB= AC ∴AB=AC.OB

·C

又∠ACB=60°,∴AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.

2.如图，AB是⊙O 的直径，BC

= CD

=

DE

∠COD=35°,求∠AOE 的度数.E D C

【解析】∵ BC = CD

=

DE

A

O

·

BOC= COD= DOE=35 B

AOE 180 3 35 75

圆的轴对称性(圆是轴对称图形) 圆的对称性

垂径定理 及其推论 圆心角、弧、弦、

圆的中心对称性(圆是中心对称图形)

弦心距之间的关系

证明圆弧相等：(1)定义(2)垂径定理 (3)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

证明线段相等：(1)垂径定理(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在 我的眼前，任我去探寻. ——牛顿