AO

bc（)

a b ccb

化简得(a b c) b c

（4

O为 ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

a b c

( )， 0, ，则点P的轨迹一定通过 ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示 ABC，D、E分别为边BC、AC的点.

中

2

2 OP OA AP 2 //

B

D

C

点P的轨迹一定通过 ABC的重心，即选C.

例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足OP OA

， 0, ，则点P的轨迹一定通过 ABC的（ B ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：分别为方向上的单位向量，

平分 BAC,

点P的轨迹一定通过 ABC的内心，即选B.

例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满

足

OP OA

， 0, ，则点P的轨迹一定通过 ABC的

（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足

.

BC

=

=0

点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，即选D.

练习：

1．已知 ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足 ，若实数

满足： ，则 的值为（ ）

A．2 B．

3

C．3 D．6 2

2．若 ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA OB OC 0，则OA OB ( ) A．

11 B．0 C．1 D． 22

3．点O在 ABC内部且满足 2 2 ，则 ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（ ）

A．0 B．

354

C． D． 243

4． ABC的外接圆的圆心为O，若 ，则H是 ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若

2

2

2

CA OC AB，则O是 ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

6． ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH m(OA OB OC)，

222

则实数m =

→→→→ABACABAC1→→→

7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(+ )·BC=0且 =2, 则△

→||AC→|→||AC→||AB|ABABC为( )

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

8．已知 ABC三个顶点A、B、C，若 ，则 ABC为（ ）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

2

1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”. 2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边. 3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合. 一、 典型例题分析 [例]已知点

G

是 ABC内任意一点,点 M是 ABC所在平面内一点.试根

据下列条件判断G点可能通过 ABC的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”). (1)若存在常数 ,满足MG MA (

ABAB

ACAC

)( 0),则点G可能通过