向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

（1）OA OB OC 0 O是 ABC的重心.

证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

(x1 x) (x2 x) (x3 x) 0

OA OB OC 0

(y1 y) (y2 y) (y3 y) 0

x1 x2 x3 x 3

y y y23 y 1

3

O是 ABC的重心.

证法2：如图

OA OB OC

2 2

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：1

O是 ABC的重心

B

DC

（2）OA OB OB OC OC OA O为 ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

OA OB OB OC OB(OA OC) OB CA 0

同理OA BC，OC AB

O为 ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是 ABC的内心

BDC

a b c O为 ABC的内心. 分别为方向上的单位向量， cb平分 BAC,

cb

bc)，令

(

a b ccb

证明：