振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究

第4 3卷第 3期 20 0 9年 3月

J u n 1 f h j大学 i ( n报 e igS i) ) o浙江 i g Unv r t gn ( c n e r a o a ies学E i r Ze n y e工学版 n ec

V l 3 o3 o_ . 4NM a. 2 O r O 9

D0I O 3 8/.sn 1 O— 7 X. O 9 O . O :1 . 7 5 j is . O 8 9 3 2 0 . 3 O 4

振动主动控制中线性

型最优控制问题研究

魏燕定，娄军强，吕永桂，陈子辰(江大学浙江省先进制造技术重点研究实验室，体传动与控制国家重点实验室，江杭州 3o 2 )浙流浙 1 O 7

摘要：针对空间柔性构件的特点，究了一类由柔性杆、感器、电扭转致动器组成的柔性杆系统的扭转振动 .研传压运用拉格朗日方程和假设模态法建立了系统的动力学方程，用线性二次型最优控制对柔性杆的扭转振动进行了主动采控制 .二次型指标中的加权矩阵的选择方法进行了深入探讨，出一种基于遗传算法并带约束条件的加权矩阵的对提选择方法.数值仿真结果表明，提出的加权矩阵的选择策略是有效的，控后系统的扭转振动能得到有效衰减.所施关键词：性二次型；转振动；电扭转致动器；权矩阵线扭压加中图分类号： 2; 3 TP 4 TB 2文献标识码： A文章编号：1 0—9 3 2 O ) 3 4 O— 5。 8 7 X( O 9 O一O 2 O

一一 次

Re e r h 0 i e r q a a i ptm a 0 r lp 0 l m n a tV s a c n ln a u dr tc 0 i lc nt 0 r b e i c i e v b a i n c nt 0 i r t0 0 r lW EIYa— i g n dn,LOU n qa g,LV n— u,CH Z— h n J— in。 u Yo g g i EN i e c( n gP Z , c KP n o n 0 L 6 r加r,A f M。“ c ￡d g U

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Ab t a t sr c:Co i e i g t r pe te f s c l x b e s r c u e nsd rn he p o r is o pa e fe i l t u t r s,t e t r i na i r tO f a fe bl r h o so l v b a i n o l xi e ba s t m on itn fa fe ys e c s s i g o 1 xml r e ora i z e e t i c u t r wa nv s i a e The d a c e e ba,a s ns nd a p e o 1 c rc a t a o s i e tg t d. yn mi— q to ft e s s e we e e t bl h d usn he La r ng q ton a d t s ume ua i ns o h y t m r s a i e i g t g a e e ua i n he a s s d mod e ho The e m t d. ln a a r tc o i lc t olwa m p oy d t o r he fe i e s s e Th ho i g m e ho f t i e r qu d a i ptma on r s e l e o c ntolt l x bl y t m. e c osn t d o he we g i t i s s u e A t d ba e t ne i l ort i htng ma rx wa t did. me ho s d on he ge tc a g ihm o b ne t on t ant s c m i d wih c s r i s wa pr po e nd s mu1to r mpl y d Th e u t h we h tt ep o o e h o ig me h d o h i h— o sda i a i ns we e e oe. er s lss o d t a h r p s d c o sn t o ft e weg tn ti s ef ci e n h o so lv a in o h y t m fe o to sa t n a e r ma ia l . ig ma rx wa fe tv,a d t e t r ina r to ft e s se a trc n r 1wa te u td d a t 1y c Ke r s i e rqu d a i y wO d:ln a a r tc;t r i a i r to o son lv b a i n;p e o l c rc t so la t a o;we

ghtng ma rx iz e e t i or ina c u t r i i ti

在空间结构中，多构件往往采用柔性杆作为很结构的支承件，如太阳能帆板的支杆、空天线支例太

了大量的研究.统的试算 (r l n—ro )法费传 ti— derr方 aa时费力 . r e人L提出的基于特征值和特征向 Hav y等 2] 量配置的方法很难将特征值及特征向量配置到较高的质量上，其对于高阶系统更显无力. tc ma 尤 Suk n

架以及空间机器人的连杆等，因此研究这类基于杆结构的柔性构件的扭转振动具有较强的理论价值及实际应用价值 .性二次型最优控制因其具有比较线满意的增益储备、角储备以及非线性容限等 _,相】而]在振动主动控制中得到了广泛应用 .

等人_提出的全局搜索方法定义了一个可以描述受 3 控系统具有理想性能指标的线性或非线性函数，然后采用 B y s n全局搜索算法来确定最优的 Q和 a ei a R.吴克恭[提出的基于输出矩阵 c的加权矩阵选 4]择方法中， Q一令 c,了获得满意的控制效果，为 需要试算大量的 p值，因此仍是一种试算法 .

在线性二次型最优控制器的设计中，能指标性函数中加权矩阵 Q和 R的选择对于最优控制的结

果具有很大影响.其选择方法多种多样，多学者作许收稿日期：2 0一O 0 7 g一1 . 2

浙江大学学报(学版)址：工网 www.o mas zu e u c/ n ju 1 j.d .n eg .

基金项目：国家自然科学基金资助项目( O 7 2 5 5 2 5 3 ) 5 8 5 3,O 7 1 1 .

作者简介：燕定 (9 o,男，浙江诸暨人，授，导，事振动测试与控制、电一体化等研究 .— i魏 1 7一)教博从机 E ma1:we d zu eu c i@ j.d . n y

振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究

第3 期

魏燕定，:等振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究

41 2

本文对一柔性杆系统的扭转振动进行了主动控，

R一

制研究，采用线性二次型最优控制，出了一种基于提遗传算法并带约束条件的加权矩阵 Q的选取方法， 进行了数值仿真研究，验证了所提出方法的有效性 .

『 0]一『 . c

]L ’

L’ O

其中为传感器输出参数阵；l U J l— .

2线性二次型最优控制理论 1柔性杆系统动力学建模定义关于状态向量和控制向量的二次型性能指柔性杆系统由柔性杆、电扭转致动器、压电阻应标为_ 6]

变传感器组成，图 1示.虑其边界条件为一端如所考固定、一端连接一尺寸可以忽略不计但具有转动惯

J一寺I[ l]。 Q+l砌 . d矩阵， Q为半正定矩阵，为正定矩阵.且 R

() 4

量 J的等效圆盘 .杆上黏贴一只环形压电扭转 在致动器l,对与轴向成 4。 _一 5] 5角的压电应变片传感器(采用半桥、温度自补偿接法 )压电扭转致动器中心 .

式中： Q和 R分别为对状态变量和输入变量的加权

二次型最优控制问题就是对线性时不变系统式 ( )确定最优控制的输入规律， 3,即一一.

和柔性杆固定端的距离为 z, 电阻应变传感器和柔性杆固定端的距离为 z .为了便于理论建模，设 假致动器、传感器黏接完好，不考虑黏贴层对柔性杆系统的影响.由于压电致动器的质量特性与柔性杆相差不多，应考虑致动器的质量特性对系统带来的影

() 5

式中：为状态反馈增益矩阵，得二次型性能指 K使标式 ( ) 4最小 .反馈增益矩阵可表示为。

响，电阻应变传感器则可以忽略 .因为主要研究此柔性杆系统扭转振动的主要特性，以忽略重力对系所统动力学的影响.

K— R B p,

() 6

P应当满足下述黎卡提 ( ict代数方程： R cai )一

P— AT A P+

B P— Q— O T .

() 7

由式 ( ) ( ) 5~ 7可知，最优控制规律为l一一 l 一一 R~ B . ( 8)

将式 ( )入式 ( )可得闭环系统的状态方程为 8代 3,一 一

艘

, IJ

( 9 )

—

.

3加权矩阵 Q、的选取 R图 1柔性杆组成布局简图 F g 1 S mp i e o f u a in o l x b e b r i . i l id c n i r t ffe i 1 a f g o

在二次型性能指标函数中，积函数中的第一被

由假设模态法及

拉格朗日方程，建立系统的可动力学方程，即

项 Q主要反映响应过程初始阶段较大偏差的性质，积函数中的第二项 l砌主要反映对控制响被 l

峋+一 Q . () 1式中：为系统的质量矩阵， M K为系统的刚度矩阵，Q为系统的广义力矩阵，,系统的模态坐标矩阵，’为

量的约束，因而二次型性能指标函数可以理解为状态衰减速度与控制过程所消耗的能量之间的一种折

衷.加权矩阵 Q和 R分别为对状态向量和输入控制向量的惩罚 .它们的惩罚作用具有相对性，就是说也增大矩阵 Q中元素的值，相当于减小矩阵 R中元就素的值；而减小矩阵 Q中元素的值，相当于增大则矩阵 R中元素的值 .以对于控制输入“的加权矩所阵 R,常可以设定为单位矩阵 j而只调整对状态通，变量的加权矩阵 Q .定义一 2维向量 P具有下述形式：

U为施加在压电扭转致动器上的电压.考虑系统阻尼，则+ n,+一Q . U () 2

式中：1 J一

+, 6常值比例系数 . n、为

将系统表示成状态方程形式，即

J一， .式中：一

=+ l==砌， J

( 3 )

P一 l 1 2…, 2 . ,, 1。

( 0 1)

[一 K二] [ _;一 r

式中： n<。< 6 ,

为一实数，、 n 6为正实数.

设加权矩阵 Q具有下述形式：

振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究

42 2

浙江大学学报 (工学版 ) Q— da:,,,,, z) ig( … … . ( 1 1)

第4卷 3

1 )编码.用二进制编码形式， Q的分量代采将表的个体表示为一个{,}进制串. 0 1二串长取决于求解的精度和决策变量的定义域 .研究中，向量本将 P的分量。作为决策变量 .一个参数，义域为 某定

式 ( 1确保了 Q正定 . 1) 定义性能指标函数为一

告I[

+H 砌]

() 1 2

[ b u d) ( o n ]求解的精度为 r,字 (o n b u d), 则符串的长度为 lg{ ( o n…一 b u也)] r) o。[ b u d) ( o n / .向大的方向取整，为 Z,该参数的定义域

被离设则散成 2个离散点， z对应 O… O长度为 z) l… 1 0 ( 到 l (度为 z )间的二进制编码，长之这样就构成了参数

式中：是一设定的时间，根据系统实际运行状 可

况(主要考虑系统的振动衰减时间)而定；取为单 R位矩阵；寻找一 Q,得性能指标函数 .使厂的值为极小.设系统具有初始条件 (有模态位移，假具无模态速度 )通过采用状态反馈控制，统在￡时间段，系

优化问题的染色体编码 .化多个参数时，优对每个参数，根据其定义域和求解精度进行编码，然后将这些编码依次连接起来，组成一个二进制编码串，总长其

内，、 H可以求解，因此也可以求解，使得值达极小时所对应的 Q对式 ( )述的二次型性能指 4所标最优，而所获得的状态反馈控制是最优的.由从但于问题的特殊性，的求解并未考虑到实际振动主 Q动控制问题中的硬件条件限制和控制效果，上述策略还需改进 .考虑控制精度和动态性及实际硬件条件，出下述约束条件：提

为∑ z或∑ z(为第 z个参数的编码长 度 )此处定义，∈[, O] 1 25 0 .2 )解码 .码时需要将二进制编码串切断为解 N或 N子二进制编码串，个记为 (I。 6一… ) (=。==

1…,, N或 N .然后分别将它们转换为对应的十 )记一 2… N或 ) (进制整数代码，为 ( 1,,, N,显 1 3 )然有一

vl’ l/), y< (、 O o以及

ma l己… . x<, l

(4 1)

1

式 ( 3主要考虑振动主动控制的衰减效果，系统 1)即在施加控制后，设定的时段内，响应幅值应在其小于初始响应幅值的 .式 (4主要考虑实际控 1)制过程中，由于硬件条件的限制，控制输入电压不至

({ 1 2一 ( ; l 6…6)> 6 2)。一 .￡ 0=

(6 1)

依据个体编码方法和对定义域的离散化方法可知， 将十进制整数代码转换为定义域内对应的变量忌的解码公式为

于过大.Q的优化策略及其约束可合并为

志一 ( o n…+[ b

u d)一 b u d) ( o n…(o n i b u d) ]一

mn=告I[ i= =厶 JO

+] l H出，砌l

.1

( 7 1)

1

l<

}J

3 )产生初始种群 .此种群大小选取为 8,在 0随

机地产生 8 0个初始值 . 4 )计算适应度.因为目标函数是求解最小值， 所以采用目标函数的倒数作为适应度函数，计算在中若出现衰减比大于或最大控制电压大于( 8 1)

ma U… . x l l< M

对于式 (5所提出的优化问题，以有多种求解方 1)可

法，文拟采用遗传算法求解上述问题 .本

U,适应值赋小值而舍去.则

4用遗传算法优化加权矩阵 Q遗传算法 ( e ei a oi m, g n t l r h GA)一种借鉴 c g t是生物进化规律而形成的并行随机搜索最优化方法 . Holn[出了遗传算法的基本定理及大量的数 l 给 ad学证明，奠定了遗传算法的理论基础 .其算法简单， 变异概率为

F(忌)一 1 ./

5 )遗传操作.本文选取交叉概率为一 0 4, . O一 OO5 .0 . 6 )终止条件 .一般采用满足适应度值或采用最大遗传代数作为终止条件.本文优化中，用后在采者，最大遗传代数为 N= 2 O设= O.= 上述步骤构成了加权矩阵优化的基本遗传算法.

可并行处理，能得到全局最优解 .遗传算法以其不依赖于问题模型、寻优过程的自适应性、隐含的并行性及解决复杂非线性问题的鲁棒性，广泛应用于各被

5数值仿真研究压电扭转致动器、柔性杆、阻应变片传感器的电参数分别如表 1和 2所示 .表中：呻、 、、呻、 p G￡ P

个领域.传算法一般由 4个部分组成：码机制、遗编 适应度函数、传算子和控制参数 .遗 用遗传算法优化加权矩阵 Q构造过程如下：

振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究

第3 期

魏燕定，:动主动控制中线性二次型最优控制问题研究等振

43 2

表 l电扭转致动器 ( z一5特性参数 PT )Ta b.1 Pa a ee sofpiz 1c rc t so 1a t t r r m t r e oee ti or i na c ua o

遗传代数 (

) a平均及最佳适应度值|( g r一 ) k n。77 5O

G |GP a7 8 2.

tf mm5 4O

R |mm9 .5

rmm8. 6

3 68 3. 67 3. 6 6

\J . 5 363. 4 6 3 63 36 2

、

尺呻、p别为压电扭转致动器的密度、切模 r分剪G Z R、、和 r分别为柔性杆的密度、切模剪

量、电常数、电应力常数、度、径和内径；介压长外、

量、度、长外径和内径.效圆盘的转动惯量 J为等 0 3 g . . Ok m。取瑞利阻尼系数口、均为O OOO 8 6 . O 1,取一端固定、一端自由的柔性杆的扭转振动的模态函数：

遗传代数 () b目标函数值图 2进化过程Fi 2 Ev l in oc s g. o uto pr e s

() nf厶 61一12… . 一 i、 ;, ,g/

作为试函数 .将应变片传感器及压电扭转致动器同位黏贴在柔性杆的根部.3 . 0O V

设为 2,己…一 取，

针对扭转振动的特性，理论计算第一阶扭转经振动的固有频率为 8 3; . 7 Hz而第二阶扭转振动的’ ,

固有频率则高达 29 7 Hz已超过了主动控制的范 4,畴，且高频模态对系统的输出贡献也非常小，以只所考虑研究系统的第一阶扭转振动.假设系统初有初>

5

2 0 ;

L

始状态=[.O],。一 1 s 0 O20 T。 0 . 遗传算法优化过程中适应度函数和目标函数的一

5 0

2O

优化过程如图 2示.所随着遗传过程的进行，体中群适应度较低的个体逐渐被淘汰，适应度较高的个而体会越来越多，且都集中在所求问题的最优点附并近，而搜索到问题的最优解 P从一[ 1 . 5 39

4 O 60 fs/

8O

10 O

() b控制后图 3传感器输出 Fi 3 Se O ut t g. ns r O pu

2O 7 9 .此时，佳适应度值为 2 7×1~, 4 .]最 . 6 O目标函数值为 3 6× 1从而可得加权矩阵 Q— da .3 O, i g

[ . 4×1 4 1 26 O,.

9× 1, O]状态反馈控制增益 K一[ 12一 . 3× 1一一 1 8 O . 6× 1。. O] 实施状态反馈控制，时最大控制输入电压为此 2 5 9￡时段的振动幅值衰减为初始幅值的 0 . 9V, 2, 控制前第一阶模态阻尼比一 0 O 1控制后 .0,第一阶模态阻尼比 a一 0 0 O7图 3 a所示为系 . 1 . ()图 4压电扭转致动器的输入电压 Fi . I p tv l g fp e o 1c rc t r in l c u t r g4 n u o t e 0 iz ee t i o so a t a o a a

统在具有初始状态时自由振动的传感器输出. 3图( )示为系统在具有上述初始状态时控制后的传 b所感器输出. 4所示为压电致动器的控制电压输入图状况.

作为对比，采用不带约束条件的遗传算法对也 P进行了搜寻，优化过程中适应度函数和目标函 其数的变化过程如图 5示 .所其搜索到的最优解 P一

振动主动控制中线性二次型最优控制问题研究

44 2

浙江大学学报 (学版 ) 工

第4卷 3

42>

2 O 一

24

,r r2 0 4 O 6 O 8 O 1O O

—

0

遗传代数 () a平均及最佳适应度值

fs/

图 7压电扭转致动器的输入电压Fi 7 I g. nputv t geofpiz lc rct r i ola e oee ti o sona c ua 0 1a t t r

6结遗传代数 () b目标函数值图 5进化过程Fi Ev uto pr es g.5 01 in oc s

语

本文对一类柔性杆系统的扭转振动进行了最优

反馈控制研究 .数值仿真结果表明，于遗传算法并基具有约束条件的加权矩阵选择方法是可行的，有能效抑制柔性杆的扭转振动.管本文所研究的柔性尽杆系统是单输入单输出的，研究思想也可推广到但多输人多输出系统中，而丰富了线性二次型最优从控制加权矩阵的选择策略.

r . O 1 O]此时最佳适应度值为 9 1×1 _, 1 O . O, .8 0。 目标函数值为 1 0×1从而可得加权矩阵 Q— .9 0,

da[ . 0 1 O] i g 1 O,. O,状态反馈控制增益 K—r 46一 . 6× 1~

一 2 6 0 . 0× 1] 0,最大控制输入

参考文献 ( eee cs: R frn e )[]解学书 .最优控制一 1理论与应用[] M .北京：华大学出清版社，9 6 18 .

电压仅为 0 2 . 9mV.同样对系统实施状态反馈控制，时段的振动幅值衰减为初始幅值的 4 . 5, 2 O

控制后第一阶模态阻尼比仍为一 O O 1 . O .图 6所示为系统在具有上述初始状态时控制后的传感器输出. 7示为压电扭转致动器的控制电压 .图所 通过上述对比可知，管带约束的遗传算法搜尽

[]HAR E 2 V Y c A,s I . Qudat we hsfra— TEN G a ri i t o s c g y tt e uao rpri[] IE rnat n n mpoi rg 1 r 0 et sJ. E ET a sci s c t p e 0 oAu o tcCo t0 1 3,1 7 t ma i n r lA( 2 . 9 8,2 ( ) 3 8—3 7 3 3:7 8.

[] s 3 Tuc KMA N B E, S TUC KMA . idn h N P L Fn ig te

“ et o t 1 o t l s ggo a sac[] o u- b s’ pi nr i 1bl erhJ .c mp t’ ma c o u n e sa d Elc rc IEn i e rn r n e tia g n e i g,1 9 9 3,1 ( ) 9 1:9—1 . 8

索出的目标函数比不带约束的遗传算法搜索出的目 标函数值要大几个数量级，前者的振动主动控制但效果比后者要好很多，后者基本没有控制效果 .而这表明，约束的遗传算法搜索方法是可行、效的，带有

[]吴克恭 .人压电材料的智能复合材料结构振动主动控 4埋

制理论和实验研究[] D .西安：北工业大学，2 0.西 O3W U ego K _ ng. The r tc 1a pe i e a t o e ia nd ex rm nt ls udy o c fa— tv br to c ie vi a in ontol f nt li nt om p ie r o i e l ge c ost m a e il t ra

有利于解决实际控制中的问题，振动主动控制效且果满意.5

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’: tutrswi e ed d i crmi h z s[ . i n aNo t we t r 1 t c n c lUn v r i r h se n Po y e h ia ie st y,2 O . O3

[]魏燕定， 5吕永桂，吕存养， .机器人柔性臂的扭转振动等主动控制研究[]浙江大学学报：学版，O5 9 J.工 2 O,3(1 1 ):1 6 7 1—1 6 . 74

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2 0

W EIYa— i g,L Yo g g i Cu _ a g,e 1 ndn V n— u,I V n y n t .Ac a—t e t r in l v b a i n c n r l o f x be ma i u a o i o so a i r t o t o f l i 1 n p lt r v o e

[] 0 ra o hj n iesy E g er gsi c, J.Jun l f ei g z a unvri: n i ei c ne t n n e一

5 0

2O

40/ 60 fs

8 O

l O0

2 O,3 ( 1:1 6 O 5 9 1 ) 7 1—1 6 . 7 4

[]刘豹 .现代控制理论[ .北京：械工业出版社， 6 M]机2O . OO

图 6控制后的传感器输出Fi . S n o u p twh n c n r l d g6 e s ro t u e o t o 1 e

[]H0』 N H.A a ti aua ada id ly蛐 7】 DJ dpa 0 j JtrJ l nn a s tn n l 1

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