1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题

如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．

请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．

思路点拨

1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形． 2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．

满分解答

（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

c 1,9

解得，c＝1． b

16 4b c 3.2

所以抛物线的解析式是y x2

9

x 1． 2

（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5． 如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．

在Rt△AOH中，OA＝1，sin AOH sin OBC

4， 5

4

． 图2 5

322

所以OH ，BH OB OH ．

55

AH4222

在Rt△ABH中，tan ABO ．

BH55111

（3）直线AB的解析式为y x 1．

291

设点M的坐标为(x, x2 x 1)，点N的坐标为(x,x 1)，

22

91

那么MN ( x2 x 1) (x 1) x2 4x．

22

所以AH OA sin AOH

当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．

解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．

因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为(1,)（如图3）．

9

2

图3 图4

考点伸展

第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．

由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3

，得x 25）．

所以符合题意的点M有4个：(1,)，(3,

9211

，(2．

)，(2

2

图5

例2 2012年福州市中考第21题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C

以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点

M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．

请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.

思路点拨

1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．

2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．

满分解答

4（1）QB＝8－2t，PD＝t．

3

（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．

过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8． 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB10． 图3

在Rt△APE中，cosA

＝

AE2310

，所以t ． APt53

当PQ//AB时，

CQCPCQ，即

CBCA8

6

10

．解得CQ 32．

96

321016

． 9315

（3）以C为原点建立直角坐标系．

如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)． 如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)． 直线EF的解析式是y＝－2x＋6．

6 t6 t

如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线

22

EF上．

所以点Q的运动速度为

所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF

＝

图4 图5 图6

考点伸展

第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．

设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，

9a 3b c 0,得 a b c 4, 解得a＝0，b＝－2，c＝6． 4a 2b c 2.

所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．

例3 2012年烟台市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，△ACG的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′，可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．

请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t=2，△ACG的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。

思路点拨

1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD． 2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．

3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．

满分解答

（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4， 代入点C(3, 0)，可得a＝－1．

所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．

APAB11

2．因此PE AP t． PEBC221

所以点E的横坐标为1 t．

2

11

将x 1 t代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝4 t2．

24

111

所以点G的纵坐标为4 t2．于是得到GE (4 t2) (4 t) t2 t．

444

（2）因为PE//BC，所以

111

因此S ACG S AGE S CGE GE(AF DF) t2 t (t 2)2 1．

244

所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．

（3）t

20

或t 20 13

考点伸展

第（3）题的解题思路是这样的：

因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．

再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．

11

E(1 t,4 t)，F(1 t,4)，Q(3,t)，C(3,0)．

22

1

如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此(t 2)2 (4 t)2 t2．

2

整理，得t2 40t 80

0．解得t1 20

t2 20 ．

1

如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此(t 2)2 (4 2t)2 t2．

2

20

整理，得13t2 72t 800 0．(13t 20)(t 40) 0．所以t1 ，t2 40（舍去）．

13

图2 图3

例4 2011年上海市中考第24题

已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y 图象与y轴交于点A，点M在正比例函数y MO＝MA．二次函数

3

x 3的4

3

x的图象上，且2

y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一

3次函数y x 3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 4

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．

思路点拨

1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．

2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．

3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．

满分解答

（1）当x＝0时，y

3

x 3 3，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3． 4

33．将y 22

如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为代入y

33

x，得x＝1．所以点M的坐标为(1,)．因此AM 22

c 3,

532

（2）因为抛物线y＝x＋bx＋c经过A(0，3)、M(1,)，所以 3解得b ，

221 b c . 2

5

c 3．所以二次函数的解析式为y x2 x 3．

2

（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E． 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．

5

因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入y x2 x 3，得

2

3 2m 16m2 10m 3．解得m

因此点C的坐标为（2，2）．

1或者m＝0（舍去）

．

2

图2 图3

考点伸展

如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：

727

如图4，点C的坐标为(,)．

416

图4

例5 2011年江西省中考第24题

将抛物线c1

：y 2x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示． （1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点．观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况．

思路点拨

1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．

2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．

3．根据矩形的对角线相等列方程．

满分解答

（1）抛物线c2

的表达式为y 2

（2）抛物线c1

：y 2x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)

，顶点为．

抛物线c2

：y 2x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)

，顶点为(0,． 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M

的坐标为( m，与x轴的两个交点为

A( 1 m,0)、B(1 m,0)，AB＝2．

抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N

的坐标为(m,，与x轴的两个交点为

D( 1 m,0)、E(1 m,0)．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．

①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：

1

情形一，如图2，B在D的左侧，此时AB AE 2，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m

3

＝2．

21

情形二，如图3，B在D的右侧，此时AB AE 2，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得m ．

32

图2 图3 图4

②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．

考点伸展

第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：

在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB

△ABM是等边三角形． 同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合． 因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．

例6 2010年山西省中考第26题

在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA

＝OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10山西26”，拖动点M可以在直线DE上运动．分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形．

思路点拨

1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．

2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．

满分解答

(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3． 在Rt△ABH中，AH＝3，BA

＝BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)． (2) 因为OE＝2EB，所以xE

22

xB 2，yE yB 4，E(2,4)． 33

设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得

b 5,1

解得k ，

2 2k b 4.

1

b 5．所以直线DE的解析式为y x 5．

2

1

(3) 由y x 5，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF

＝

2

①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,

55)，点N的坐标为(－5,)． 22

②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为

(4,8)．

③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．

由△NPO∽△DOF，得

NPPONPPONO，

即．解

得NP

，

510DOOFDF

PO N

的坐标为( ．

图3 图4

考点伸展

如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．

图5 图6

例7 2009年江西省中考第24题

如图1，抛物线y x 2x 3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．

2

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形．观察△BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值．

思路点拨

1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 2．当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程． 3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．

满分解答

（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1． （2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．

把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）． 把x＝1代入y x 2x 3，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）． 因此DE=2．

因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为(m, m 3)，点F的坐标为

2

(0, m2 2m 3)，因此FP ( m2 2m 3) ( m 3) m2 3m．

m2 1当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到 m 3m 2．解得m1 2，

（与点E重合，舍去）．

因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．

②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此

2

11

FP OM FP BM 22

139

( m2 3m) 3 m2 m． 222S S BCF S BPF S CPF

m的变化范围是0≤m≤3．

图2 图3

考点伸展

在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．

如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此yD yF yP yE． 于是4 ( m 2m 3) ( m 3) 2．解得m1 0（与点CE重合，舍去），m2 1（与点E重合，舍去）．

因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．

2

图4