《2014挑战中考数学压轴题》1.4 因动点产生的平行

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题

如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．

请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．

思路点拨

1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形． 2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．

满分解答

（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

c 1,9

解得，c＝1． b

16 4b c 3.2

所以抛物线的解析式是y x2

9

x 1． 2

（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5． 如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．

在Rt△AOH中，OA＝1，sin AOH sin OBC

4， 5

4

． 图2 5

322

所以OH ，BH OB OH ．

55

AH4222

在Rt△ABH中，tan ABO ．

BH55111

（3）直线AB的解析式为y x 1．

291

设点M的坐标为(x, x2 x 1)，点N的坐标为(x,x 1)，

22

91

那么MN ( x2 x 1) (x 1) x2 4x．

22

所以AH OA sin AOH

当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．

解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．

因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为(1,)（如图3）．

9

2

图3 图4

考点伸展

第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．

由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3

，得x 25）．

所以符合题意的点M有4个：(1,)，(3,

9211

，(2．

)，(2

2

图5

例2 2012年福州市中考第21题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C

以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点

M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．

请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.

思路点拨

1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．

2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．

满分解答

4（1）QB＝8－2t，PD＝t．

3

（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．

过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8． 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB10． 图3

在Rt△APE中，cosA

＝

AE2310

，所以t ． APt53

当PQ//AB时，

CQCPCQ，即

CBCA8

6

10

．解得CQ 32．

96

321016

． 9315

（3）以C为原点建立直角坐标系．

如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)． 如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)． 直线EF的解析式是y＝－2x＋6．

6 t6 t

如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线

22

EF上．

所以点Q的运动速度为

所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF

＝

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