大一上学期同济版高数第四章习题课

高等数学第二十五讲

习题课 不定积分的计算方法一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分

第四章

一、 求不定积分的基本方法1. 直接积分法

通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .2. 换元积分法第一类换元法第二类换元法

(代换: x (t ))

(注意常见的换元积分类型)3

(1) (2) (3) (4)

1 1 1 1 f ( x ) x 2 dx f ( x )d x 1 f ( x ) x dx 2 f ( x )d x

f (arcsin x) 1 x2

dx

f (arcsin x)d (arcsin x) f (arctan x)d (arctan x)

f (arctan x) dx 2 1 x

sin 2 xdx d sin 2 x d cos 2 x (5)

ln x 1 ln x (7) dx d x x2

(6) (1 ln x)dx d ( x ln x)

1 1 1 1 (8) (1 ln ) d d ln x x x x 1 1 (9) (1 2 ) dx d ( x ) x x 1 1 (10) (1 2 ) dx d ( x ) x x 1 dx d ln( x 1 x 2 ) (11) 2 1 x

3. 分部积分法

u dv uv vdu使用原则: 1) 由 dv 易求出 v ;

2)

vdu

比

好求 .

一般经验: 按“反, 对, 幂,三 ,指” 的顺序,

排前者取为 u , 排后者取为 v .

例1. 求

2 3 解: 原式 dx dx 32 x 2 2 x 1 ( 2)2 x 3

x x

( 2) x 3

da x a x ln a dx

2) x d (3 1 ln 2 1 ( 2 ) 2 x 3 3

2 )x arctan( 3

ln 2 ln 3

C7

例2

3x sin 2 x cos 4 x dx

3x tan 2 x sec 2 xdx xd tan 3 x

x tan x (sec x 1) tan xdx3 2

1 2 x tan x tan x ln cos x C 238

例3. 求

解: 原式 arctan e x de x

e e arctan e e dx 2x 1 e x x x

x

(1 e 2x ) e 2x e x arctan e x dx 2x 1 e

e arctan e x 1 ln (1 e 2 x ) C 2x9

x

例4. 求解法1 :

x d (1 cos x) d 原式 1 cos x 2 x 2 cos 2 xx x d tan ln(1 cos x ) 2

分部积分

x x x tan 2 ln cos ln 1 cos x C 2 210

例4. 求 解法2 :

x x x 2 sin cos 2 2 dx 原式 2 x 2 cos 2 x x x d tan tan dx 2 2

x x tan C 2

分部积分11

x ln x 例5 (1 x 2 )3/ 2 dx 1 ln x 1 ln xd dx 2 2 2 1 x 1 x x 1 x 1 d ln x x 2 1 1 x 1 2 x1 1 ln( 1 2 ) C x x 1 x212

ln x

例6. 求 解: 设 F ( x) x 1 则

x 1 , 1 x ,

x 1 x 1x 1 x 1得

1 x2 x C , 1 2 1 x2 C , x 2 2

因

连续 , 利用

1 C1 2得

1 C 2 2

记作

Cx 113

1 1 1 C1 1 1 ( x 1x2 C ,C , x 1 C2) 1 2 22x 2 2

2 1 1 x 2 )x 1 C , ( 1 C, 22 2

例7

试求

故分段积分 解： 被积函数中含有绝对值符号，

F (x) e dx x

e x

C2 , x 0 e dx x

e x C1 , e dxx

x 0

其中

为任意常数

由原函数的定义 , 可知x 0

连续 , 得

lim F ( x) F (0) 1 C1 x x 0

x 0

lim F ( x) lim [ e

C2 ] 1 C2

C1 2 C2

F (x) 14

例8. 设 解:

求积分 令 x y t, 即 y x t

t3 x 2 , t 1

t t 2 (t 2 3) y 2 , 而 dx 2 dt 2 t 1 (t 1)

t 2 (t 2 3) 原式 3 2 dt 2 t 3 t (t 1) 2 t 2 1 t 1

1

1 ln ( x y ) 2 1 C 215

例9 解

求 x arctan x ln(1 x 2 )dx.1 x ln(1 x )dx ln(1 x 2 )d (1 x 2 ) 2 1 1 2 2 2 (1 x ) ln(1 x ) x C. 2 22

1 2 2 2 原式 arctan xd[(1 x ) ln( 1 x ) x ] 2 1 [(1 x 2 ) ln( 1 x 2 ) x 2 ] arctan x 21 x2 [ln(1 x 2 ) ]dx 2 2 1 x16