高中线性规划基础

高中线性规划基础

高中线性规划基础、例析及其在数学中的地位

随州市曾都一中：彭彤彬

邮编：441300 Tel：13308661377

一、线性规划的基础-----二元一次不等式表示区域的结论和证明：

1、 结论：二元一次不等式表示区域，这个个问题，课本上只给出了特例，然后由特殊到

一般地总结出了结论：不等到式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)(其中A、B不同时为零)在平面直角坐标系上表示的点集组成的图形是直线Ax+By+C=0的同侧的所有点组成的平面区域。

2、 收集到的证明方法如下：

设 A(x1,y1)、B(x2,y2) 为直线l: Ax+By+C=0 异侧的两点，连结AB 交l 于C(x0,y0)点，设C 分AB成的比为λ=

x1 x21

ACCB

，则： x0 ,y0

y1 y21

,Ax0+By0+C=0且λ>0

消去x0,y0解出λ得：

Ax1 By1 cAx2 By2 c

,

)

∴(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0 设P（x,y）为与A点同侧的任一点，则：(Ax+By+C) (Ax2+By2∴(Ax+By+C)(Ax1+By1+C) (Ax2+By2+C)2>0

∴（Ax+By+C）(Ax1+By1+C) >0，即Ax+By+C的符号都与(Ax1+By1+C)的值同号。 同理可得与B同侧的任何点（x,y）使得Ax+By+C的符号都与(Ax2+By2+C)同号。 故有结论：

二、线性规划问题――课本例4谈

1、 题目（第63页例4）：

要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小

今需要A、B、C三种规格的成品，分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少。

2、解题前的准备――解释题意：

从表中可以看出：第一种钢板截A规格的数多，截B、C规格的钢板少，而第二种钢板截A规格的数少，截B、C规格的钢板越来越多。这可能吗？

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举例解释：长宽分别为240、80的钢板截长宽分别为80、120的钢板可得2块，截长宽分别为90、85的为0 张，而长宽分别为180、170的钢板截长宽分别为80、120的钢板可得2块，而截长宽分别为90、85的可得4块。如图：

80

240

170

180

2、解题中的思考： ①问题：一般来说，读题后，我们会如下作：设需第一种钢板X张，第二种钢板Y张，

则：

2x+y=15

x+2y=18 x+3y=27

求Z=x+y的最小值。

x、y∈N

但这样作无解，无x、y∈N

使其满足条件，那就更不能说去求Z=x+y的最小值了。 那这个问题该怎么样办？就无解了吗？

②释疑：

有解——这是实际问题的答案。因为各取15+18+27=60块两种钢板时，能得到满足条件的A、B、C三种规格的钢板。不过，这时得到的A、B、C规格的钢板多了。若适当减少两种钢板的数量时，肯定能得到满足要求的三种规格的钢板，且使x+y的值最小。

③修改解题策略：将前面从已知列出的等式改为不等式试试就可。问题变为： 求 2x+y≥15

x+2y≥18

x+3y≥27 时z=x+y的最小值。

x、y∈N

④正确解法：

画可行域分析得，z所以要再在可行域内去找接近那个交点且为整点又能满足条件的整点。此时可如下找：

1 x+3y≥27……○2 2x+y≥15……○3 z=x+y…………○

3代入○1○2解出x可得：0.5(3z-27) ≥x≥15-z,不要中间的x得到一个不等到式，解○

得z≥11.4。令z=12代入上面的有两个不等号的不等式中得：4.5 ≥x ≥3,因x∈N，所以

x=3或4 x=3 或 x=4 y=8。

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5由前面的解题过程，可以看出：本题对学生的能力要求相当高，可谓是一个难题。○

这提醒我们在教学中，不要马虎对待它。 三、线性规划问题的意义：

1、 可解决许多实际问题，培养学生应用数学的意识，从而培养学生的学习兴趣，这是当今教材、高考改革的趋势。

2、 培养学生将实际问题化为数学问题的能力，培养读题、分析问题、解决问题的能力。 3、 培养学生数形结合思想、借助图形解决问题的能力。 4、 培养学生作图、计算能力与灵活运用数学知识的能力。

四、线性规划问题的演变——改变可行域或改变目标类型例： 例1：已知x,y满足

x+2y-5≤0 x≥1 求①y≥0

x+2y≥0

解：画出可行域如图，在可行域内任取一点P(x,y),

①

yx

2

yx

的最大值，②x2

y2≤koP koA=2。

2

2

2

②x y OP OB 1 1 2

22

例2：已知f(x)=ax2+bx，且 -1≤f(-1) ≤2，2≤f(1) ≤4,求f(-2)的取值范围。 解：由已知要可得：-1≤a-b≤2且 2≤a+b≤4，求f(-2)=4a-2b的取值范围。 故可用线性规划法解，得-1≤f(-2) ≤10. 例3：已知x2+3y2≤1,求|z|=|

3y 22x23

|的最小值。

如图，椭圆上及其内部的点组成可行域。 设P(x,y)为其内一点，A（0，

y

kAP

x23

13

），则：

，所以|z|的最小值为3kAB可见，可行域可为直边多边形区域或曲线所围成的区域，目标函数为线性函数可为其

他函数，当然在高中时期这样的目标函数较少。

五、线性规划的一般问题--——变量增多 见课本章节后的阅读材料，不再多述。

六、线性规划在数学中的地位：

从前面可以看出线性规划只是非常特殊的多元函数在简易定义域上的一个简单性质----求最值的问题。教材将这部分内容安排在高中来，我想主要是因为可用它来解决许多实际问题，让没机会进一步学数学的人，有机会 …… 此处隐藏：384字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……