2019-2020中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形滚动小专题(六)与三

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2019-

2020中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形滚动小专题（六）与三角形有关的计算与证明练习

______年______月______日

____________________部门

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类型1 以全等为基础的有关计算与证明

1．(20xx·镇江)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE ＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.

(1)求证：△ABE≌△ACF；

(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝75°.

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACF.

又∵BE＝CF，

∴△ABE≌△ACF(SAS)．

2．在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线相交于点M.求证：

(1)BH＝DE；

(2)BH⊥DE.

证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，

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3 / 8 BC ＝DC ，CE ＝CH ，

∠BCD ＝∠ECH ＝90°，

∴∠BCD ＋∠DCH ＝∠ECH ＋∠DCH ，

即∠BCH ＝∠DCE.

在△BCH 和△DCE 中，

⎩⎨⎧BC＝DC，

∠BCH＝∠DCE，CH＝CE，

∴△BCH ≌△DCE(SAS)．

∴BH ＝DE.

(2)令BH 与CD 相交于点O.

∵△BCH ≌△DCE ，

∴∠CBH ＝∠CDE.

又∵∠BOC ＝∠DOM ，

∴∠DMB ＝∠BCD ＝90°.

∴BH ⊥DE.

3．(1)探究：如图1，分别以△ABC 的两边AB 和AC 为边向△ABC 外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，连接DC ，BE ，求证：DC ＝BE ；

(2)拓展：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝45°，连接AC ，BD ，若∠DAC ＝90°，AC ＝AD ，求BD 的长．

解：(1)证明：∵以AB，AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，

∴AD＝AB，AE＝AC，∠ACE＝∠AEC＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°.

∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC.

∴∠DAC＝∠BAE.

∴△DAC≌△BAE(SAS)．∴CD＝BE.

(2)以AB为边向外作等腰直角三角形ABE，连接CE，使AE＝AB，∠BAE＝90°.

∴∠BAD＝∠CAE.

∵AC＝AD，∴△ACE≌△ABD(SAS)．

∴CE＝BD.

∵BE＝AB＝5，∵∠ABC＝45°，

∴∠EBC＝90°.∴CE＝＝5.

∴BD＝5.

类型2 以相似为基础的有关计算与证明

4．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE·AB，连接DE.

(1)求证：△ABD∽△ADE；

(2)若CD＝3，CE＝，求AC的长．

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解：(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠EAD.

∵AD2＝AE·AB，

∴＝.

∴△ABD∽△ADE.

(2)∵△ABD∽△ADE，∴∠ADB＝∠AED.

∵∠DAE＋∠ADE＋∠AED＝180°，∠ADB＋∠ADE＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD.

又∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD.

∴＝，即＝，∴AC＝4.

5．如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落

在线段EQ上点F处．

(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)

(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．

解：(1)有三对相似三角形：△AMP∽△BPQ∽△CQD.

(2)设AP＝x，由折叠的性质，得BP＝AP＝EP＝x.

∴AB＝DC＝2x.

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由△AMP∽△BPQ，得＝，∴BQ＝x2.

由△AMP∽△CQD，得＝，∴CQ＝2.

AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，

MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1.

在Rt△FDM中，sin∠DMF＝，DF＝DC＝2x，

∴＝.

解得x1＝3，x2＝(不合题意，舍去)，

∴AB＝2x＝6.

类型3 以解直角三角形为基础的有关计算与证明

6．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.

(1)求证：AC＝BD；

(2)若sinC＝，AD＝24，求BC的长．

解：(1)证明：∵AD是BC上的高，

∴AD⊥BC.

∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°.

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

∵tanB＝，cos∠DAC＝，

又∵tanB＝cos∠DAC，

∴＝.∴AC＝BD.

(2)在Rt△ADC中，sinC＝＝，则AC＝26，

∴CD＝＝10.

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∵BC＝BD＋CD，又∵AC＝BD＝26，

∴BC＝26＋10＝36.

7．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD是△ABC的角平分线，BC

＝4，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C.

(1)如图1，若B′落在AB上，求证：四边形ABCA′是平行四边形；

(2)如图2，若点B′落在在AD上，A′B′交AC于点M.

①求点B经过的路径长；

②连接AA′，求四边形AA′CB′的面积．

图1 图2

解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.

∵∠BAC＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°.

∵将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，B′落在AB上，

∴CB＝CB′，∴∠B＝∠CB′B＝75°.

∴∠BCB′＝30°.

∴∠BCB′＝∠ACA′＝30°.

∴∠BAC＝∠ACA′＝30°.

∴AB∥A′C.

∵AB＝AC＝A′C，

∴四边形ABCA′是平行四边形．

(2)①∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

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∴∠ADC＝90°，BD＝CD.

∵将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，B′落在AD上，∴BC＝CB′＝2CD.

∴cos∠BCB′＝＝.∴∠BCB′＝60°.

∴点B经过的路径长为×π×4＝π.

②∵∠ACA′＝∠BCB′＝60°，A′C＝AC，

∴△ACA′是等边三角形．∴A′C＝A′A.

∵∠BAC＝30°，AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD＝15°.

∵∠ACB＝75°，∠BCB′＝60°，

∴∠ACB′＝∠CAD＝15°.∴AB′＝CB′.

∴A′B′垂直平分AC.

∵∠CAD＝∠B′AM，∠AMB′＝∠ADC＝90°，

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