2016版3年高考2年模拟新课标一轮复习第九章 平面解析几何§9.2圆的方程及直

课标版 § 9.2

理数

圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系

知识梳理

1.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点 就是圆心,定长就是半径. 2.圆的标准方程:圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程为①=r2 .

(x-a)2+(y-b)2

D2 E 2 4F D E x + y = 3.(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为 ,故有 4 2 2

2

2

a.当② D2+E2-4F>0

时,方程表示圆,圆心为③

D E , 2 2

,半径为④

1 2

D2 E 2 4F

.

b.当D2+E2-4F=0时,方程表示点⑤

D E , 2 2

.

c.当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形. (2)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突 出了方程形式的特点:x2和y2的系数相同,不含xy这样的二次项. (3)A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必 要不充分条件. 4.直线与圆的位置关系

相 离 图形

相 切

相 交

Δ<0 圆心到直线的距离d 与半径r满足d>r

Δ=0 d=r

Δ>0 d<r

量化

方程观点 几何观点

5.圆与圆的位置关系(☉O1、☉O2的半径分别为r1、r2,d=|O1O2|)外离 图形 外切 相交 内切 内含

d>r1+r2

d=r1+r2

|r1-r2|<d<r1+r2

d=|r1-r2|

d<|r1-r2|

量的关系

6.圆的切线方程问题 (1)圆的方程为x2+y2=r2(r>0),点M(x0,y0),若点M在☉O上,则过M的切线方程

为x0x+y0y=r2;

若点M在☉O外,则直线x0x+y0y=r2与☉O的位置关系是相交; 若点M在☉O内,则直线x0x+y0y=r2与☉O的位置关系是相离. (2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点M(x0,y0)引切线,切点为T,切线长公式为2 2 x0 y0 Dx0 Ey0 F . |MT|=

1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 (A.a<-2或a> C.-2<a<0

)

2 3

B.- <a<02 3

2 3

D.-2<a< a 3 2 2 2 2 2 x 方程x +y +ax+2ay+2a +a-1=0转化为 a -a+1, +(y+a) =- 2 4

答案 D

2

3 2 2 因为该方程表示圆,则有- a -a+1>0,即3a2+4a-4<0,∴-2<a< . 4 3

2.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2 2 ,则实数a的值为 ( ) A.-1或 3

B.1或3

C.-2或6

D.0或4

答案 D

2 2 | a 2 | 2 |a 2| 圆心(a,0)到直线x-y=2的距离d= ,则 2 + =22, 2 2

2

∴a=0或4,故选D.

3.经过点P(2,-3)作圆(x+1)2+y2=25的弦AB,使点P为弦AB的中点,则弦AB所在 直线的方程为 ( A.x-y-5=0 C.x+y+5=0

)

B.x-y+5=0 D.x+y-5=0 3 0 =2 ( 1)

答案 A 设圆心为C,则AB垂直于CP,又C(-1,0),P(2,-3),则kCP=

1,故kAB=1,AB:x-y-5=0,故选A.

4.圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ 3 y-3=0的距离d= 答案

.

1|1 3 | 1 ( 3) 2

解析 由题意得圆心为(1,0),故d= 2

=1.

5.已知直线5x+12y+m=0与圆x2-2x+y2=0相切,则m= 答案 解

析

.

8或-18 由圆x2-2x+y2=0得(x-1)2+y2=1,则圆心为(1,0),半径r=1.由于直线和圆|5 m| 5 122

相切,则 2

=1,得m=8或-18.

典例题组求圆的方程

典例1 (2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 答案 解析

.

x2+(y-1)2=1 根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,

所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.

1.常见的求圆的方程的方法有两种,一是利用圆的几何特征,求出圆心坐标 和半径,写出圆的标准方程;二是利用待定系数法,它的应用关键是根据已 知条件选择标准方程还是一般方程. 2.求圆的方程时,如果给定条件易求圆心坐标和半径,则选用标准方程求解; 如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常选用一般方 程求解.

1-1 求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程. 解析

解法一:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,

∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.1 (x-4). 易知线段AB的垂直平分线方程为y=- 2

设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有

b 1, (5 2)2 (2 1)2 = 10 , ∴C(2,1),r=|CA|=

2a b 3 0, 1 b (a 4), 2

a 2, 解得

∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.

解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, a 2, 2a b 3 0, 则 (5 a)2 (2 b) 2 r 2 , 解得 b 1, (3 a) 2 ( 2 b) 2 r 2 , r 10,

∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 解法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),