高三数学—选修2-1直线与圆锥曲线交点问题—刘剑敏 - 古城中学

直线与圆锥曲线交点问题

北京市古城中学刘剑敏

【案例描述】直线与圆锥曲线相交问题是高考的重要问题，C级要求。下面，通过例题进行描述。

例题：求过定点P(0,1)且与抛物线 2=2x只有一个公共点的直线的方程。 错解1、设所求直线方程为y=kx+1

=kx+1由方程组 2,消元得 =2x

2 2+2 k 1 x+1=0

若直线与抛物线只有一个公共点，则 =4(k 1)2 4 2=0

所以k= 21即所求直线的方程为y=2 +1

错解2、(1)若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x=0

=0 =0由 2得 =2x =0

即直线x=0与抛物线只有一个交点。

=kx+1(2)若直线斜率存在，设为k，则直线方程是y=kx+1,由方程组 2消元 =2x

得

2 2+2 k 1 x+1=0

因为直线与抛物线只有一个公共点

所以 =4( 1)2 4 2,即k=2,即直线方程为y=2 +1。

综上(1)、(2)可知，所求直线方程为y=2 +1和x=0.

1是遗漏【诊断分析】从上面的解法的分析中，我们会发现错解一有两处错误：○

2方程组消元后的方程直线斜率不存在的情况，仅考虑存在斜率的直线。○

2 2+2 k 1 x+1=0被认定为二次方程，因而由直线与抛物线只有一个公共点得出 =0.事实上，方程的二次项系数为含字母的参数 2,方程不一定为二次方程。当k=0时，方程式一次方程，此时方程组只有一解。错解二注意了直线斜率不存在的情况，但与错解一一样，没有注意到方程 2 2+2 k 1 x+1=0中当k=0时方程为一次方程。

【策略步骤】实际上，上面两种解法都有错误：

(1) 若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x=0，且直线斜率不存在的

情况要在设方程之前就要讨论，此时直线x=0与抛物线只有一个公共点(0,0).

(2) 若直线斜率存在，设为k，则过点P(0,1)的直线方程为y=kx+1

=kx+1由方程组 2消元得 =2x

2 2+2 k 1 x+1=0 1111当k=0时，解得x=2,y=1,直线与抛物线只有一个公共点；

1

1

高三数学—选修2-1直线与圆锥曲线交点问题—刘剑敏 - 古城中学

当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 =4(k 1) 4 =0. 所以k=2

从而直线方程为y=2 +1。

综上可得，所求直线方程为x=0或y=1或y=2 +1

【实际效果】通过对直线方程的分类讨论，能做到不重不漏，思维更加缜密。

【感悟思考】用代数法解决直线与圆锥曲线相交问题时，勿忽视消元后一元一次方程的二次项系数是否为零的讨论；设直线方程时，勿漏掉直线斜率不存在的情况，利用数形结合思想解题时，勿漏掉特殊情况的讨论。 1112