第二讲高考要求

1掌握ax b c与ax b c(c 0)型不等式的解法，并能熟练地

应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；

2．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法3．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法

1绝对值不等式

x a与x a(a 0)型不等式ax b c与ax b c(c 0)型

不等式的解法与解集：

不等式x a(a 0)的解集是x a x a; 不等式x a(a 0)的解集是xx a,或x a

不等式ax b c(c 0)的解集为 x| c ax b c (c 0); 不等式ax b c(c 0)的解集为 x|ax b c,或ax b c (c 0) 2解一元一次不等式ax b(a 0)

①a 0, xx

b

a 0, ② xx

a b

a

3韦达定理：

方程ax bx c 0（a 0）的二实根为x1、x2，

2

b

x x 2 12a 则 b 4ac 0且

c

x1x2

a

0

①两个正根，则需满足 x1 x2 0，

xx 0 12 0

②两个负根，则需满足 x1 x2 0，

xx 0 12

③一正根和一负根，则需满足

0

x1x2 0

4对于一元二次不等式ax bx c 0或ax bx c 0 a 0 ，设相应

2

2

的一元二次方程ax bx c 0 a 0 的两根为x1、x2且x1 x2，

2

b2 4ac，则不等式的解的各种情况如下表：

方程的根→函数草图→观察得解，对于a 0的情况可以化为a 0的情况解决

注意：含参数的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立问题 含参不等式ax2

＋bx＋c>0的解集是R；其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况题型讲解

例1 解不等式（1）3 x 2 9；（2）3x 4 1 2x x 2 3 x 1或x 5

解：（1）原不等式化为：

x 2 9 7 x 11

原不等式的解为：{x 7 x 1,或5 x 11}（2）原不等式化为： 解得 x 5或x

3x 4 0 3x 4 0

或

3x 4 1 2x 4 3x 1 2x

3 5

3

不等式的解集为：{xx ,或x 5}

5

例2 解不等式x 5x 6 x 4

解：（1）当x 4 0时，不等式的解集为 （2）当x 4 0即x 2或x 2时，有

2

2

2

2

12

2x 5x 2 0 x 或x 2

(x2 4) x2 5x 6 x2 4 2

5x 10 0 x 2

综上所述，原不等式的解集为{xx 2}

例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1分析：关键是去掉绝对值

方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）

①当x 1时，x 3 0,x 1 0

∴ (x 3) (x 1) 1 ∴ 4<1 x ②当 1 x 3时

∴ (x 3) (x 1) 1 x ③当x 3时

11

，∴{x| x 3} 22

(x 3) (x 1) 1 -4<1 x R ∴{x|x 3}

综上，原不等式的解集为{x|x

12

也可以这样写： 解：原不等式等价于 ①

x 1 1 x 3

或②

(x 3) (x 1) 1 (

x 3) (x 1) 1

x 3或 ③ ，

(x 3) (x 1) 1

解①的解集为φ，②的解集为{x|∴原不等式的解集为{x|x>方法2：数形结合

从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于11

<x<3}，③的解集为{x|x 3}, 2

1}2

∴原不等式的解集为{x|x>

2

1}2

{x 5 x 1} 例4 已知不等式ax bx 1 0的解集为

求a、b的值

解：由题意可知 a 0且－5和1是方程ax bx 1 0的两根

2

1 b

( 5) 1 4a a 5

14 5 b 5 a

故a,b的值分别为

1,5例5解关于x的不等式ax b(1 x) [ax b(1 x)],(a b) 解：原不等式化为

22

(a2 b2)x b2 (a b)x 2(a b)bx b

222

(a b)2(x2 x) 0 a b (a b) 0 x2 x 0则0 x 1

2

故原不等式的解集为{x0 x 1}2x2 2kx k

1对于x取任何实数均成立，求k的取例6若不等式2

4x 6x 3

值范围

2

2x2 2kx k2x 2kx k 1解：∵ 1 0 224x 6x 34x 6x 3

2x2 2(k 3)x 3 k

0 2

4x 6x 3

2x2 2(k 3)x 3 k 0(∵4x2+6x+3恒正)，

∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x取任何实数均成立∴ =[-2(k-3)]2-8(3-k)<0 k2-4k+3<0 1<k<3∴k的取值范围是（1，3）逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数

法的一部分

例7已知方程2(k+1)x+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围

2

解：要原方程有两个负实根，必须:

k 1 0

k 1 2

2(k 1) 0k k 2 0 2 k 1 0 4k 0 k 0或k 1 x x 02 1 2(k 1)

2 xx 0k 或k 13k 2 12

0 3

2(k 1) 2

2 k 1或 k 1

3

2

∴实数k的取值范围是{k|-2<k<-1或<k<1}3

小结：

解含绝对值不等式，既要明确不等式的基本性质，又要根据绝对值的代数及几何意义，去掉绝对值符号，将其转化为一般的不等式（组）来解

如果不等式的系数含有字母，则应该根据情况予以讨论，如开口方向，两根的大小等等，这是数学中的分类讨论思想学生练习

8 3x 0的解集是（ ）

A BR C{x|x D

83

83

M {xx 2},N {xx 3}，则下列结论正确的是（ ）

AM N M N {x2 x 3}

C M N R M N {xx 2}

2且不大于5的最小整数是

A B2 C2 D－5

1

0的解集是（ ） 4111

AR B{x|x C{x|x } D{x|x

222

不等式x2 x

A {xx 2 3},B {xx 1},则A B等于 （ ）

x 1 x 0或2 x 5} B{x 1 x 5}

x 1 x 0} D {xx 0或x 2}

1