(江苏专用)2016高考数学二轮复习 专题七 第4讲 不等式选讲课件 理(选做部分)

第4讲 不等式选讲

高考定位

高考对本内容的考查主要有： (1) 含绝对值的不

等式的解法； B 级要求 .(2) 不等式证明的基本方法； B 级要

求.(3)利用不等式的性质求最值； B级要求.(4)几个重要的不等式的应用.B级要求.

真题感悟 1.(2015· 江苏卷)解不等式 x+|2x+3|≥2.解 3 3 x<- , x≥- , 2 2 原不等式可化为 或 -x-3≥2 3x+3≥2.

1 解得 x≤-5 或 x≥-3. 1 综上，原不等式的解集是 x x≤-5或x≥-3 .

2.(2014· 江 苏 卷 ) 已 知 x > 0 , y > 0 , 证 明 ： (1 + x + y2)(1 + x2 + y)≥9xy. 2 3 2 xy 证明 因为 x>0,y>0,所以 1+x+y ≥3 >0,1+x2+y≥2 xy 3 >0, 3

2 2 3 xy xy 故(1+x+y )(1+x +y)≥3 · 3 =9xy.

2

2

3

考点整合1.含有绝对值的不等式的解法

(1)|f(x)|>a(a>0) f(x)>a或f(x)<-a;(2)|f(x)|<a(a>0) -a<f(x)<a; (3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式，可利用 绝对值不等式的几何意义求解. 2.含有绝对值的不等式的性质

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式.

3.基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab.当且仅当 a=b 时，等号成立. a+b 定理 2:如果 a,b 为正数，则 2 ≥ ab,当且仅当 a=b 时，等 号成立. a+b+c 3 定理 3:如果 a,b,c 为正数，则 3 ≥ abc,当且仅当 a=b =c 时，等号成立. 定理 4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1、a2、…、an a1+a2+…+an n 为 n 个正数， 则 ≥ a1a2…an, 当且仅当 a1=a2=… n =an 时，等号成立.

4.柯西不等式 (1)设 a,b,c,d 为实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅 当 ad=bc 时等号成立. (2)若 ai,bi(i∈N )为实数，则 ( a )( b )≥( aibi)2,当且仅当*i 1 2 i i 1 2 i n n

n

i 1

bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…, n)时，等号成立. (3)柯西不等式的向量形式：设 α,β 为平面上的两个向量，则 |α|· |β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.

5.绝对值不等式 |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|.需要灵活地应用. 6.不等式的性质，特别是基本不等式链 a+b 1 1≤ ab≤ 2 ≤ a+b 1 最值中经常用到. 7.证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法.另外还有拆项 法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法 等. a2+b2 2 (a>0,b>0),在不等式的证明和求

热点一 绝对值不等式 [微题型1] 考查绝对值不等式的解法 【例1-1】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

-2x+5,x≤2, 解 (1)当 a=-3 时

,f(x)= 1,2<x<3, 2x-5,x≥3. 当 x≤2 时，由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时，f(x)≥3 无解； 当 x≥3 时，由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4; 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1,或 x≥4}. (2)f(x)≤|x-4| |x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时，|x-4|-|x-2|≥|x+a| 4-x-(2-x)≥|x+a| -2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围是[-3,0].

探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤： ①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等 式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点

值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.

[微题型2] 含有绝对值不等式的恒成立问题【例 1-2】 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R), 不等式 f(x)≤3 的解集为{x| -2≤x≤1}. (1)求 a 的值； x (2)若 f(x)-2f 2 ≤k

恒成立，求 k 的取值范围.

解

(1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2.

又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 4 2 所以当 a≤0 时，不合题意.当 a>0 时，-a≤x≤a,得 a=2. (2)记 x h(x)=f(x)-2f 2 ,

1,x≤-1, -4x-3,-1<x<-1, 2 则 h(x)= 1 -1,x≥- , 2 所以|h(x)|≤1,因此 k≥1.

探究提高

解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转

化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.

【训练1】 已知函数f(x)=|x-a|.

(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求 实数m的取值范围.解 (1)由 f(x)≤3 得|x-a|≤3,

解得 a-3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}, a-3=-1, 所以 解得 a + 3 = 5 ,

a=2.

(2)法一 当 a=2 时，f(x)=|x-2|, 设 g(x)=f(x)+f(x+5),

-2x-1,x<-3, 于是 g(x)=|x-2|+|x+3|= 5,-3≤x≤2, 2x+1,x>2. 所以当 x<-3 时，g(x)>5;当-3≤x≤2 时，g(x)=5; 当 x>2 时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为 5. 从而若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的 取值范围为(-∞,5]. 法二 当 a=2 时，f(x)=|x-2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5),于是 g(x)=|x-2|+|x+3|. 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2 时等号成 立),得 g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x)+f(x+5)≥m, 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(-∞,5].