奥数举一反三分数简便运算

前面我们介绍了运用定律和性质以及数的 特点进行巧算和简算的一些方法，下面再 向同学们介绍怎样用拆分法(也叫裂项法、 拆项法)进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相 1 抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如 的分数可以拆成1 1 a a 1

a b ;形如 a b1 a ( a n)

a (a 1)

的分数可

以拆成

1 1 a b

,形如

的分数可以

1 1 1 拆成 n ( a a n )等等。同学们可以结合例题思考

其中的 规律。

1 1 1 1 例题1、计算： ... 1 2 2 3 3 4 99 100

思路： 1

1 1 1 2 2

1 1 1 2 3 2 3

1 1 1 3 4 3 4

......

1 1 1 99 100 99 100

裂项法1 1 99 100

1 1 1 1 1 = 1 2 + 2 3 + 3 4 +...+

=

1 1 100

=

99 100

1 1 1 1 ... 4 5 5 6 6 7 39 401 1 1 1 ... 10 11 11 12 12 13 29 30

1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42

1 1 1 1 1 6 42 56 72

1 1 1 1 例题2、计算： + + +...+ 48 50 2 4 4 6 6 8 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 因为2 4 2 4 4 6 4 6 6 8 6 8 48 50 48 50 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + + +...+ 48 50)×2 原式= ( 2 4 4 6 6 8 2

= ( =

1 2 1 12 1 + 2 4 4 4 4 6 6

1 1 1 2 50 26 25

121 1 2 1 +......+ ) + 6 48 50 50 48 6 8 8

1 2

24 1 = 50 2

=

1 1 1 1 ... 3 5 5 7 7 9 97 991 1 1 1 ... 1 4 4 7 7 10 97 100

1 1 1 1 ... 1 5 5 9 9 13 33 37

1 1 1 1 1 4 28 70 130 208

例题3、计算： 1 1 7 9 11 13 153 12 20 30 42

56

9 1 1 11 1 1 13 1 1 7 1 1 因为 12 3 4 20 4 5 30 5 6 42 6 7

15 1 1 56 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 原式= 1 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 81 = 1 8

=

7 8

注意：去掉括号要变号

1 5 7 9 11 1 2 6 12 20 301 9 11 13 15 1 4 20 30 42 56 1998 1998 1998 1998 1998 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

7 9 11 6 6 6 12 20 30

1 1 1 1 1 1 例题4、计算： 2 4 8 16 32

64

观察：分母之间的变化规律，后一个分母总是 前一个分母的2倍，也就是两个后面的分数相 加等于前面的一个分数，因此，我们可以从最 1 后开始算起，先加一个64 ,就可以得到前一个 分数，再依次从后往前加，就可以得到“和” 1 “1”,但是先前我们给整个算式加了一个 ， 64 1 以还要减去一个64

1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = ( 2 4 8 16 32 64 64 64

1

1 2

1 4

1 = 1 64

1 8

1 16

1

32

=

63 64

借还法注意：借了的总要还

1 1 1 1 1 ...... 2 4 8 16 2562 2 2 2 2 3 9 27 81 2439.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

例题5、计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4

a

b

b

a

观察：这里两个乘法算式没有一个因数是相 同的，但是每个因数中的大部分加数是相同 的，那我们可不可以把这些相同的加数用一 个字母来代替呢？这样的方法叫做“代数法” 那整个算式就变成了 (1+a)×b-(1+b)×a =b+ab-a-ab =b-a 再用这两个字母所代表的加数相减就行了。

1 1 1 1 1 1 1 b a 2 3 4 5 2 3 4 1 5 提示：还有另外的“代数法”哟！你发现了吗 自己试试！

1 1 1 1 1 1 1 b ,a 2 3 4 5 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 1 1 1 1 1 1 设a= 1 b= 2 3 4 2 3 4 1 1 原式=a×(b+ )-(a+ 5 )×b 5 1 1 =ab+ a-ab- b 5 5 1 1 = = 5 (a-b) 5

1 1 1 1 1 1 1 = ×[ 1 - ] 5 2 3 4 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 9 10 11 9 10 11 12 8 9 10 11 12 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1999 2000 2001 1999 2000 2001 2002 1 1 1 1 1 1 1 1 1999 2000 2001 2002 1999 2000 2001