高数课件30空间几何2

高等数学

向量代数一、向量的概念向量：既有大小又有方向的量.M2

向量表示：a 或 M1 M 2

M

1

向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 | 零向量： 模长为0的向量. 0

以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段.

单位向量：模长为1的向量. a 0 或 M M 0 1 2

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自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量.

a

b

负向量：大小相等但方向相反的向量. a

a

a

向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM

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二、向量的加减法 [1] 加法： a b c(平行四边形法则)

b

c

a

(平行四边形法则有时也称为三角形法则)

特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 | c | | a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |

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向量的加法符合下列运算规律：

(1)交换律： a b b a . (2)结合律： a b c (a b ) c a (b c ). (3) a ( a ) 0. b a [2] 减法 a b a ( b ) b b c a b b c a ( b ) a b a b a

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三、向量与数的乘法 a 设 是一个数，向量 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a | | | | a | a 1 2a a 2

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数与向量的乘积符合下列运算规律：

(1)结合律： ( a ) ( a ) ( )a (2)分配律： ( )a a a (a b ) a b两个向量的平行关系 定理 设向量 a 0,那末向量b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯 一的实数 ,使 b a .

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证 充分性显然； b ‖ 必要性 设 b a 取 , a 当 b 与 a 同向时 取正值， 当 b 与 a 反向时 取负值， 即有 b a . b b. 此时 b 与 a 同向. 且 a a a a 的唯一性. 设 b a,又设 b a, 即 a 0, 两式相减，得 ( )a 0, a 0, 故 0, 即 .

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0 设a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，

0 a | a | a

a 0 a . |a|

上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.

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1 b 3a 例1 化简 a b 5 b 5 2

1 b 3a 解 a b 5 b 5 25 1 (1 3)a 1 5 b 2 5 5 2a b . 2

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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. D C a 证 AM MC b

BM MD

A

M

B

AD AM MD MC BM BCAD 与 BC 平行且相等, 结论得证.

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例3 证

用向量的方法证明梯形两腰中点的连线 平行于底边且等于两底边之和的一半EF ED DF

C E A

D F

EC CD DFEF EB BF

EA AB BF

B

2 EF AB CD ( EC EA) ( DF BF )

0 1 1 AB CD EF ( AB CD) (1 )CD 2 2 EF // CD AB // CD

0

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例4

已知三个非零向量 a , b , c 中任意两个向量 都不平行 但a b 与c 平行, b c 与a平行 试证 a b c 0

证

由题设 存在 0, 0 使 a b c b c a a b c (1 )c a b c (1 )a (1 )c (1 )a 1, 1 若不然 则 a // c 与题设矛盾 故 a b c 0

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四、向量在坐标轴上的分向量与向量 的坐标 设a 是以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为起点、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )为终点的向量， 过 M1 , M 2 各作垂直于三个坐标轴的平面 ,

这六个平面围成一个以线段M 1 M 2 为对角线的 长方体.这六个平面与 x , y , z 轴分别相交于P1 , P2 ;Q1 , Q2 ; R1 , R2

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zR2

M2R1

M1AB

k

P1

o i

j

Q1

Q2

y

P2

x

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称有向线段 P1 P2M1 M 2

的值 x2 x1 的值y2 y1

为向量

在 x 轴上的投影

有向线段 Q1Q2

为向量

M1 M 2 在 y 轴上的投影

有向线段M1 M 2

R1 R2 的值 z2 z1 为向量

在 z 轴 上的投影

依次记作 a x

,ay

, az

即

a x x2 x1 a y y2 y1

az z2 z1

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由图上可以看出 a M1 M 2 M1 B BM 2 M1 A AB BM 2

而

M1 A P1 P2 AB Q1Q2 BM 2 R1 R2 M1 M 2 P1 P2 Q1Q2 R1 R2

以i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量.

——称为基本单位向量