江苏省金陵中学2011届高三第二次模拟考试试卷

数学

1 江苏省金陵中学2011届高三第二次模拟考试试卷

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分160分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题

卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．

2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效．

4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．

参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么

球的表面积公式 24πS R = ()()()P A B P A P B +=+

其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么

()()()P A B P A P B = 球的体积公式 34π3

V R = 如果随机变量(,),B n p ξ 那么 其中R 表示球的半径

A ．必做题部分

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．集合2|{2-+=x x x A ≤0，}Z x ∈，则集合A 中所有元素之和为 ．

2．如果实数p 和非零向量与满足)1(=++p p ，则向量和 ． （填“共线”或“不共线”）．

3．△ABC 中，若B A sin 2sin =，2=AC ，则=BC ．

4．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是 ．

5．已知复数ai z +-=11，i b z 32-=，R b a ∈,，且21z z +与21z z ⋅均为实数，则

=2

1z z ． 6．右边的流程图最后输出的n 的值是 ．

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7．若实数m 、∈n {1-，1，2，3}，且n m ≠，则曲线12

2=+n

y m x 表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是 ．

8． 已知下列结论：

① 1x 、2x 都是正数⇔⎩⎨⎧>>+0

02121x x x x ， ② 1x 、2x 、3x 都是正数⇔⎪⎩

⎪⎨⎧>>++>++000321133221321x x x x x x x x x x x x ，

则由①②猜想：

1x 、2x 、3x 、4x 都是正数⇔

9．某同学五次考试的数学成绩分别是120， 129， 121，125，130，则这五次考试成绩的方差是 ．

10．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，1=BC ，以A 为圆心，1为半径作四分之一个

圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ．

11．用一些棱长为1cm 的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则

这个几何体的体积最大是 cm 3．

04321>+++x x x x

043423

24

13121>+++++x x x x x x x x x x x x

12340.x x x x >

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图1（俯视图） 图2（主视图）

12

是 ．

13．已知xOy 平面内一区域A ，命题甲：点(,){(,)|||||1}a b x y x y ∈+≤；命题乙：点A b a ∈),(．如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是 ．

14．设P 是椭圆116

252

2=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点， 则AF PA PF PA ⋅+⋅4

1的最小值为 ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．

（1）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； （2）求三棱锥C AB A 11-的体积．

16．某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理

设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费

一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以

后每年的维护费都比上一年增加2万元．

（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；

（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

A B C C 1 A 1 B 1

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17．如图，已知圆心坐标为的圆M 与x 轴及直线x y 3=分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线x y 3=分别相切于C 、D 两点．

（1）求圆M 和圆N 的方程；

（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．

18．已知函数x x x f cos sin )(-=，R x ∈．

（1）求函数)(x f 在]2,0[π内的单调递增区间；

（2）若函数)(x f 在0x x =处取到最大值，求)3()2()(000x f x f x f ++的值；

（3）若x e x g =)(（R x ∈），求证：方程)()(x g x f =在[)+∞,0内没有实数解． （参考数据：ln 20.69≈，14.3≈π）

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19．已知函数x x x x f 323

1)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ． （1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标

的取值范围；

（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件

的所有直线方程；若不存在，说明理由．