常用拉普拉斯变换总结

常用拉普拉斯变换总结

1、指数函数

0f(t) t Ae

L[Ae tt 0，其中，A和a为常数。 t 0 t st] Ae0 edt A e ( s)tdt 0 A s

2、阶跃函数

0f(t) A

0t 0，其中，A为常数。 t 0A sL[A] Ae stdt

3、单位阶跃函数

0u(t) 1

L[u(t)]

4、斜坡函数 t 0t 0 0e stdt 1s

0f(t) At

L[At] t 0t 0，其中，A为常数。

0e st stAtedt At s0 0Ae stdt s

A＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t0时刻的单位斜坡函数写成r（t-t0） A

stA edt 2s0s

5、单位斜坡函数

0f(t) tt 0 t 0

L[t]

0e st sttedt t s 0 0e stdt s

1 st1 edt s 0s2

6、正弦函数

0f(t) Asin t

f(t)t 0，其中A为常数。

t 0f(t)

0t

(a)0t(b)

图2.3正弦函数和余弦函数

根据欧拉公式：

拉式变换为： sin t 1(ej t e j t)2j

A j t j t stL[Asin t] (e e)edt2j0

A1A1A 22js j

2js j s 2

同理余弦函数的拉式变换为：L[Acos t]

7、脉动函数 As s2 2

A f(t) t0 00 t t0t 0,t0 t，其中，A和t0为常数。

脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的阶跃函数，与另一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠加而成。

f(t) AAu(t) u(t t0) t0t0

A A L[f(t)] L u(t) L u(t t0) t0 t0 AA st0A e (1 e st0)t0st0st0s

8、脉冲函数

脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。

A limg(t) 0 00 t t 0, t

A L[g(t)] lim (1 e s ) 0 s

d A(1 e s )As lim A 0s s d

9、单位脉冲函数

当面积A=1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，

(t t0) 0

t t0

t t0

- (t t0)dt 1

量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。

当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。

单位脉冲函数 (t t0)可以看作是单位阶跃函数u（t-t0）在间断点t=t0上的导数，即 (t t0) du(t t0) dt

相反，如若对单位脉冲函数 (t t0)积分：

(t t)dt u(t t) t000t

积分的结果就是单位阶跃函数 u（t-t0）

利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。

10、加速度函数

At2

f(t) 0

拉氏变化为：

t 0t 0，其中，A为常数。 L[At2] At2e stdt 0A 2 stte s

2A

当A=1s3 2 te stdt 0 1时称之为单位加速度函数，用a（t）表示，发生在t=t0时刻的加速度函数通常2

写成a(t t0)，图像如下：

11、单位加速度函数： 10a(t) 2t 2t 0t 0

1 L t2 u(t) 2

012 sttedt2

1 s

12 st te 20 te0 st dt 1s3