组合数学参考答案(卢开澄第四版) - 修改版

修改了前四章的部分错误习题,并且增加了第五章区组设计与编码的部分习题答案。

1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b| 5；

解：（1）：由|a-b|=5 a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b| 5 |a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少？

解：（a）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b）用x表示男生，y表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y

在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C（8，5）×7！×5！ （c）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A，B之间存在0个男生， A，B之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A，B之间存在1个男生， A，B之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A，B之间存在2个男生，A，B之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A，B之间存在3个男生，A，B之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A，B之间存在4个男生，A，B之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A，B之间存在5个男生，A，B之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2

所以总的排列数为上述6种情况之和。

1.3题 m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若

(a)男生不相邻(m n 1); (b)n个女生形成一个整体； (c)男生A和女生B排在一起； 分别讨论有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n个女生先排成一排，形成n+1个空。因为m n 1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。

则男生不相邻的排列个数为

pp

n

n

n 1m

(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。 因此，共有n! (m 1)!种可能。

(c)男生A和女生B排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能， A、B组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！

(这里实际上是m+n-2个学生和AB的组合形成的)种可能。共有组合数为2! (m n 1)! 1.4题 26个英文字母进行排列，求x和y之间有5个字母的排列数 解：C（24，5）*13！

1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。

解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232 1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！

解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！

n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)!

所以1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！=(n+1)!－１

n

1.7题 试证：(n 1)(n 2) (2n)被2除尽。

n

证明：因(2n)! 2n!(2n 1)!!

(n 1)(n 2) (2n)

2

n

n!(n 1)(n 2) (2n)

n!2

n

(2n)!n!2

n

(2n 1)!!

因为(2n-1)!!是整数所以(n 1)(n 2) (2n)能被2n除尽。

修改了前四章的部分错误习题,并且增加了第五章区组设计与编码的部分习题答案。

1．8题 求1040和2030的公因数数目。

解：因为1040 240*540 240*530*510 2030 260*530 240*220*530

它们最大公因子为240*530转化为求 最大公因子 能除尽的整数个数，能除尽它的整数是 2a*5b,0 a 40,0 b 30

根据乘法法则，能除尽它的数个数为 41*31=1271

1.9题 试证n2的正除数的数目是奇数。

证明：设有0 a n,n b n2, 则一定有表达式n2 a b，

则 可知符合范围的a和b必成对出现，所以为偶数。

2

又当a=b=n时，表达式n2=a b仍然成立。 所以n的正除数的数目是―偶数 1‖为奇数。 1.10题 证任一正整数n可唯一地表成如下形式:

证：对n用归纳法。

先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n的非负整数，命题成立。 对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!

,0≤ai≤i,i＝1,2,…。

由假设对n-k!,命题成立，设

，其中ak≤k-1,，命题成立。

再证表示的唯一性：设

, 不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi}

aj·j!+aj-1·(j-1)!+…+a1·1! =bj·j!+bj-1·(j-1)!+…+b1·1!,

(aj bj) j!

(b

i

ai) i! j!

i i!

bi ai i!

(b

i

ai) i! 矛盾，命题成立。

1.11题 证明nC(n-1,r)= (r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.

证：nC(n 1,r) n

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