2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题六 第2讲 排列、组合与二

第二讲

排列、组合与二项式定理 选择、填空题型

考情 1.对两个计数原理及排列、组合的考查主要 两个计数原理 有两种形式：一是直接利用计数原理、排列、组 排列、组合问题 合知识进行计数，如2013年福建T5,2013年北京 T12;二是与概率问题结合起来综合考查. 2.对二项式定理的考查主要是求展开式中的 二项式定理 某一项，某一项的二项式系数，各项系数和等， 考查赋值技巧，难度不大，如2013年江西T5,2013 年新课标全国卷ⅡT5,2013年安徽T11.

考点

1.(2013· 福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的 方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个 数为 A.14 B.13 C.12 ( D.10 )

解析：因为 a,b∈{-1,0,1,2},可分为两类：①当 a=0 时，b 可能为-1 或 1 或 0 或 2,即 b 有 4 种不同的选法；②当 a≠0 时，依题意得 Δ=4-4ab≥0,所以 ab≤1.当 a=-1 时，b 有 4 种不同的选法；当 a=1 时，b 可能为-1 或 0 或 1,即 b 有 3 种不同的选法；当 a=2 时，b 可能为-1 或 0,即 b 有 2 种 不同的选法.根据分类加法计数原理，(a,b)的个数为 4+4 +3+2=13.答案：B

2 5 2 2.(2013· 江西高考) x -x3 展开式中的常数项为

(

)

A.80 C.40

B.-80 D.-40

2 r - r 2 5- r - 解析：Tr+1=C5· ) · 3 =Cr · (x (-2)r·10 5r,令 x 5 x 5r=0,得 r=2,故常数项为 C2×(-2)2=40. 5

10-

答案：C

3.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)已知(1+ɑx)(1+x)5 的展开式中 x2 的 系数为 5,则ɑ= A.-4 C.-2 B.-3 D.-1 ( )

1 解析：展开式中含 x2 的系数为 C2+aC5=5,解得 a=-1. 5

答案：D

a x+ 8 4.(2013· 安徽高考)若 的展开式中 x4 的系数为 7, 3 x 则实数 a=________.

a 4 x+ 8 r r 解析： 二项式 3 展开式的通项为 Tr+1=C8a x8-3 x 4 1 3 3 r,令 8- r=4,可得 r=3,故 C8a =7,易得 a= . 3 21 答案： 2

5.(2013· 北京高考)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部 分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券 连号，那么不同的分法种数是________. 解析：按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券分 成 4 组，然后再分配给 4 人，连号的情况是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5,故其方法数是 4A4=96. 4答案：96

1.两个重要公式 (1)排列数公式 Am= n n! =n(n-1)(n-2) (n-m+1)(n,m∈N*, n-m !

且 m≤n). (2)组合数公式 Cm= n n! n n-1 n-2 n-m+1 = (n,m m! n-m ! m!

∈N*,且 m≤n).

2.三个重要性质和定理 (1)组合数性质m ①Cn =Cn n-m m

(n,m∈N*,且 m≤n);m -1

m ②Cn+1=Cn +Cn (n,

m∈N*,且 m≤n); 0 ③Cn=1.

(2)二项式定理0 (a+b)n=Cnan+C1 an-1b1+C2 an-2b2+ +Ck an-k·k+ b n n n

+Cnbn,其中通项 Tr+1=Cr an rbr. n n

-

(3)二项式系数的性质0 1 n ①Cn=Cn,Cn=Cn 1, ,Cr =Cn r; n n n 0 2 ②Cn+C1 +Cn+ +Cn=2n; n n 1 5 2 ③Cn+C3 +Cn+ =C0 +Cn+C4 + =2n-1. n n n- -

两个计数原理的应用[例 1] (1)某人设计了一项单人游戏，规则如下： 先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD(边长为 3 个单 位)的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形 的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为 i(i=1,2, , 6),则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位，一直循环下去.则某人 抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有( A.22 种 C.25 种 B.24 种 D.36 种 )

(2)方程 ay=b2x2+c 中的 a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3}, 且 a,b,c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同 的抛物线共有 A.60 条 C.71 条 B.62 条 D.80 条 ( )

[自主解答]

(1)设抛掷三次骰子的点数分别为 a,b,c,

根据分析，若 a=1,则 b+c=11,只能是(5,6),(6,5),2 种 情况；若 a=2,则 b+c=10,只能是(4,6),(5,5),(6,4),3 种情况； a=3, b+c=9, 若 则 只能是(3,6), (4,5), (5,4), (6,3), 4 种情况；若 a=4,则 b+c=8,只能是(2,6),(3,5),(4,4), (5,3),(6,2),5 种情况；若 a=5,则 b+c=7,只能是(1,6), (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),6 种情况；若 a=6,则 b+c =6,只能是(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),5 种情况.故总 计 2+3+4+5+6+5=25 种可能.

(2)当 a=1 时，若 c=0,则 b2 有 4,9 两个取值，共 2 条抛物线， 若 c≠0,则 c 有 4 种取值，b2 有两种，共有 2×4=8 条抛物线； 当 a=2 时，若 c=0,b2 取 1,4,9 三种取值，共有 3 条 抛物线， 若 c≠0,c 取 1 时，b2 有 2 个取值，共有 2 条抛物线， c 取-2 时，b2 有 2 个取值，共有 2 条抛物线， c 取 3 时，b2 有 3 个取值，共有 3 条抛物线，

c 取-3 时，b2 有 3 个取值，共有 3 条抛物线. 所以共有 3+2+2+3+3=13 条抛物线. 同理，a=-2,-3,3 时，共有抛物线 3×13=39 条. 由分类加法计数原理知， 共有抛物线 39+13+8+2=62 条.[答案] (1)C (2)B