定积分的简单应用错解总结

用定积分求曲边形的面积时，不判断曲边图形位于x轴上方，还是下方，直接求解而出现错误，下面通过实例探究避免出错的措施：

一、具体措施：

⑴当对应的曲边图形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积； ⑵当对应的曲边图形位于x轴下方时，定积分的取负值，且等于曲边图形面积的相反数；

⑶当位于x轴上方的曲边图形面积等于位于x轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边图形面积减去位于x轴下方的曲边图形的面积.

二、错例体验：

例1 求曲线y sinx与直线x

5 5,x ,y 0所围成的图形的面积.

245 错解：所求面积为 sinxdx cosx| . 2

错解分析：当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，此时曲边梯形的面积等于定积分的相反素，本题中求曲线与直线所围成的图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是下方，否则求出的面积是错误的.

正解：所以围成的图形的面积：

S sinxdx sinxdx sinxdx sinxdx 1 2 1 4 0 0 练习、求正弦曲线y sinx与余弦曲线y cosx，在x 到x

积. 解析：当x 345 间围成图形的面4 3 5 , 时，cosx sinx，当x , 44 44

1 5 时，cosx sinx， 所以所求面积为S cosx sinx dx sinx cosx dx 3 2 5 sinx cosx dx 2

cosx sinx | 5

∴所围成的曲边图形的面积为点评：本题中先判断了在x

3 , 上正弦函数与余弦函数的大小关系，在具体利 44 1