1. 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.

解：（条件极值的拉格朗日乘数法）设长方体的长、宽、高各为 x,y,z， 则问题是在条件下： (x,y,z) 2xy 2yz 2xz a2 0， 求函数V xyz (x 0,y 0,z 0)的最大值。

设L(x,y,z) xyz (2xy 2yz 2zx a2)， L x yz 2 (y z) 0

L 由 xz 2 (x z) 0 及 2xy 2yz 2xz a2

y

L xy 2 (x y) 0 z

x

y 求得唯一一组解

z

这是唯一可能的极值点，故表面积为a

2的长方体中，以边长为体积最大.

2 .求函数f(x,y) x3 y3 3x2 3y2 9x的极值. 的正方体的6

2 fx (x,y) 3x 6x 9 0解： ，得驻点：(1,0),(1,2),( 3,2),( 3,0) 2 f(x,y) 3y 6y 0 y

(x,y) 6x 6,B fxy (x,y) 0,C fyy (x,y) 6y 6， A fxx

AC B2 36(x 1)(y 1) 点(1,2)代入得： 72 0，不是极值点. 点(1,0)代入得： 72 0，且A 12 0，是极小点，极小值为f(1,0) 5 点( 3,0)代入得： 72 0，不是极值点.

点( 3,2)代入得： 72 0，且A 12 0，是极大点，极大值为f( 3,2) 31

3. 求过点(3,0, 1)且与平面3x 7y 5z 12平行的平面方程.

解：n (3, 7,5) 平面方程：3(x 3) 7(y 0) 5(z 1) 0 即：5x 2y z 11 0

1sinxy 满足初始条件y( ) 1的特解. xx

1sinx 解： P(x) ,Q(x) xx4. 求微分方程y

P(x)dxP(x)dx y e [ Q(x)e dx c] 1 =( cosx c) x

y( ) 1代入上式得：c 1

原方程特解为y

5. 计算二重积分 xyd ，其中D是直线y 1,x 2及y x所围成的区域.

D1( cosx 1) x

解：原式= dx xydy 112x

13x= 1(x )dx 222

8= 3

6. 计算曲线积分 (x y)dx (3x 4y 2)dy, 其中L为以 (0,0),(2,0),(2,3)

L

为顶点的三角形的正向边界.

解：函数P(x,y) x y,Q(x,y) 3x 4y 2在三角形上具有一阶连续偏导数， (x y)dx (3x 4y 2)dy (

LD Q P )d x y

= 2d D

1=2 2 3 6 2

7. .求幂级数 ( 1)

n 1 n 1xn的收敛半径，收敛域及和函数. n

解： liman 1n. lim 1，则R 1 n an (n 1)n

1( 1)n 1

x 1时， 发散， x 1时， 收敛。 nnn 1n 1 收敛域为( 1,1] 设s(x) ( 1)

n 1 n 1xnx2x3 x n23

1(x 1) 1 x两边同对x求导，得s (x) 1 x x2

s(x) x1dx ln(1 x)( 1 x 1) 01 x