第三节 高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数的运算法则

第二章

二阶导数的定义：如果函数f ( x )的导数在点 处可导, 称f ( x ) x 在点x处的导数为 ( x )在点x处的二阶导数 f . d2y 记作 f ( x ), y , . x 2 dx 函数的二阶导数就是函数的(一阶)导数的导数。ds v 例 速度v是位移s对时间t的导数(变化率), . dt dv 加速度a是速度v对时间t的导数, a .dt

加速度a是位移v对时间t的二阶导数, a s (t ).

二阶导数的符号的几何意义：f ( x ) 0, x (a, b) f ( x )在(a, b)单调递增f 0

f ( x )的图形从左到右向上弯 曲(凹)

f ( x ) 0, x (a, b) f ( x )在(a, b)单调递减f 0

f ( x )的图形从左到右向下弯 曲(凸)

函数的二阶导数的符号反映函数图形的凹凸性.

更高阶导数三阶导数 y ( y x ) x , f ( x ), xd3y . 3 dx

f ( x )的n阶导数就是 ( x )的n 1阶导数的导数。 fdny f ( n ) ( x ), y ( n ) , . n dx

例1 设 y x ( R), 求y (n) .解：y x 1y ( x 1 ) ( 1) x 2y ( ( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3 y ( n) ( 1) ( n 1) x n (n 1)

特别的，若 为正整数n, 则

( x n )( n ) n! ,

( x n )( n 1) ( n! ) 0.

例2

y e

x

(e )

x ( n)

e

x

例3 设 y ln( x), 求y (n) . 1

解：y

1 1 (1 x ) 1 x x 1 1 y ( x 1)2 2! ( 2)( x 1) 3 y ( x 1) 3 3! ( 4) y ( x 1)4

例4 设 y sinx,求y (n) . 解: y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 (n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2

例5解： y f ( x 2 1) ( x 2 1) x f ( x 2 1) 2 x. x

y 2[ x f ( x 2 1)] x x 2{ x f ( x 2 1) x [ f ( x 2 1)] x } 2[ f ( x 2 1) x f ( x 2 1) 2 x]

2 f ( x 2 1) 4 x 2 f ( x 2 1).

高阶导数的运算法则:设函数u和v具有n阶导数， 则(1) (u v )( n)

u

( n)

v

( n)

(2) (Cu)( n) Cu( n)

( 3) ( u v )

(n)

u v nu(n)

( n 1 )

n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!

n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C uk 0 k n n ( n k )

v

(k )

莱布尼兹公式

例6 设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20) . 解： u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知 设y ( 20 ) (e 2 x )(

20 ) x 2 20(e 2 x )(19 ) ( x 2 ) 20( 20 1) 2 x (18 ) (e ) ( x 2 ) 0 2! 2 20 e 2 x x 2 20 219 e 2 x 2 x 20 19 18 2 x 2 e 2 2! 220 e 2 x ( x 2 20x 95).

第三节 高阶导数

要点:二阶(高阶)导数的定义； 二阶导数的符号反映什么：函数图形的凹凸性. 简单函数的高阶导数； 抽象函数求二阶导数.