（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）

2、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°

法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中 在△BFD和△BCD中 ∵ AB=EB（已知） BF=BC（已知） ∠1=∠2（已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） BD=BD（公共边）

∴△ABD≌△EBD（S.A.S） ∴△BFD≌△BCD（S.A.S） ∴ ∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等） ∴ ∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等 AD=DE（全等三角形的对应边相等） DF=DC（全等三角形的对应边相等） ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） ∵ AD=CD（已知），DF=DC（已证） ∴DE=DC（等量代换） ∴DF=AD（等量代换） ∴∠4=∠C（等边对等角） ∴∠4=∠F（等边对等角） ∵ ∠3+ ∠4＝180° （平角定义）， ∵ ∠F＝∠C（已证） ∠A＝∠3（已证） ∴∠4=∠C（等量代换） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换） ∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换） 法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。 ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义） 在△NBD和△MBD中 ∵ ∠N=∠DMB （已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△NBD≌△MBD（A.A.S）

∴ ND=MD（全等三角形的对应边相等） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ ND=MD （已证）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L） ∴ ∠4=∠C（全等三角形的对应角相等） ∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义），