一、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标点在坐标轴上的投影、向量在坐标轴上的分向量和投影 向量的分解式、向量的坐标、向量的坐标表示式

利用坐标进行向量的加减和数乘、利用坐标判断两个向量的平行

二、向量的模与方向余弦的坐标表示两个向量的夹角、投影定理 向量的方向角、向量的方向余弦 方向余弦的坐标表示、 向量的模的坐标表示 单位向量的表示

一、向量在坐标轴上的分 数轴上的有向线段的值： 向量与向量的坐标设在数轴 u上点A、B的坐标分别为u1、u2, 则称数值u2 u1 为数轴 u上有向线段 AB 的值， 记 作 A B . 即AB= u2 u1. 是与数轴 u 同方向的单位向量， 则显然有 设e

. ( u u ) e AB 2 1

e

O

1

A u1

B u2

u

设 a M 1M 2 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2) 为终点的向量. 以 i 、j 、 k 分别表示与 x 轴、y 轴、z 轴同向

的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本单位向量.

P1称为点M1在x轴上的投影，P2称为点M2在x轴上的投影. a 向量 P 在x轴 1P 2 称为向量 上的分向量.

z aM2

M1

有向线段 P 1P 2 的值P1P2叫做 P1 O 在轴x上的投影，记为 P 向量 a 2 x Pr jx a 或ax .ax=x2 x1.

y

设 a M 1M 2 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2) 为终点的向量. 以 i 、j 、 k 分别表示与 x 轴、y 轴、z 轴同向

的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本单位向量.

Q1称为点M1在 y 轴上的投影，Q2称为点M2在 y 轴上的投影. 在y轴 向量 Q1Q2 称为向量 a

z aM2

M1

上的分向量. 有向线段 Q1Q2 的值Q1Q2叫做 在轴 y 的投影，记为 向量 a Pr j y a 或ay .ay=y2 y1.

yP1 P2

O

Q1

Q2

x

设 a M 1M 2 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2) 为终点的向量. 以 i 、j 、 k 分别表示与 x 轴、y 轴、z 轴同向

的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本单位向量.

R1称为点M1在 z 轴上的投影，R2称为点M2在 z 轴上的投影. 在z轴 向量 R1 R2 称为向量 a 上的分向量. 有向线段 R1 R2 的值R1R2叫做 在轴 z 的投影，记为 向量 a Pr jz a 或az . az= z2 z1.

R2

z

R1

M1

a

M2

yP1 P2

O

Q1

Q2

x

设 a M 1M 2 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2) 为终点的向量. 以 i 、j 、 k 分别表示与 x 轴、y 轴、z 轴同向

的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本单位向量. P P a ( x x ) 1 2 xi 2 1 i 、 Q1Q2 a y j ( y 2 y 1) j 、

R1 R2 a z k ( z 2 z 1) k ,

R2

z

R1

M1

a

M2

yP1 P2

O

Q1

Q2

x

P P a ( x x ) 1 2 xi 2 1 i 、 Q1Q2 a y j ( y 2 y 1) j 、 R1 R2 a z k ( z 2 z 1) k ,

R2

z

R1

M1

a

M2

起点为M 1(x 1,y 1,z 1) 而 终点为M 2(x 2,y2,z 2)的向量P1

yOQ1 Q2

P2 a M 1M 2 a x i a y j a z k x ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k .

上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式. 在三个坐标轴上的投影a 、a 、a 叫做向量 的坐标， 向量 a a x y z { a 、a 、a }, 并记 a a 此式叫做向量 的坐标表示式. x y z

注意： 向 量在坐标 轴上的分 向量与向 量在坐标 轴上的投 影 (即向量的坐标)有本质的区别，向量在坐标轴上的投影是 三个数a x,a y,az

,而向量在坐标轴上的分向量是三个向量

a x i 、a yj 、a z k .

利用向量的坐标进行向量的加减和数乘： b { b x,b y,b z }. , 设a { a x,a y,a z }, b b xi b j y kb z ,则 则 即a a x i a yj akz , a b ( a x i a y kz ) ( b x i b j a j y kb z ) kz) ( a x b x) i ( a y b yj) (a z b { a x b x ,a y b y ,a z b z}. { a b ,a b ,a b }. a b x x y y z z kz ) j a a ( a x i a y j ( ak ( a x) i ( a y) z)

{ a x , a y , a z}.

利用向量的坐标判断两个向量的平行： b { b x,b y,b z }, 则 设a { a x,a y,a z } 0, a , b 则b //a 即b //a { b x,b y,b z } { a x,a y,a z },bx b y bz 于是 . ax a y az

即 于是

例1

设A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)为两已知点，而在AB

直线上的点 M 分有向线段 AB 为两个有向线段AM 与MB ,使它 AM ,求分点 M 的坐标. 们的值的比等于某数 ( 1),即 MB z 解 设所求点为M(x,y,z),则 A M AM {x x 1,y y 1,z z 1},MB {x 2 x,y 2 y,z 2 z}. B ,z z 1},MB {x 2 x,y 2 y,z 2 z}. y O 依题意有 AM MB ,即 x {x x1,y y1,z z1} {x2 x,y2 y,z2 z}, {x,y,z} {x1,y1,z1} { x2,y2, 2} {x,y,z}, 1 {x,y,z} {x 1 x 2,y 1 y 2,z 1 z 2}, 1 x1 x 2 y1 y 2 z 1 z 2 x ,y ,z . 1 1 1

点 M 叫做有向线段AB 的定比分点.当 1,点 M 的有向

线

段 AB 的中点，其坐标为x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 x ,y ,z . 2 2 2

二、向量的模与方向余弦的坐标 表示 , 任取空间一点O, 作 OA a 设有两个非零向量 a 和 b , 规定不超过 的 AOB 称为向量 a 与 的夹角， OB b , b 记作 (a , b ) 或 (b , a ) , 即 (a , b ) AOB. 如果向量 a 或b 是零向量， 规定它们的夹角可在0与 之 B 间任意取值.

两个向量的夹角：

a

b

b

jO

a

A

投影定理： 向量 AB 在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角

j 的余弦：Prju AB =| AB |cos j . B A A')

j B'' B' B u

A

j B''

向量的方向角： 对于非零向量 a M 1M 2 我们可以用它与三条坐标轴的夹角 、 、 (0 < 、0 、0 )来表示它的方向，称 、 、 a 为非零向量 的方向角. z

M1

M2

a

O

y

x

向量的方向余弦： 因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以 | cos ; a x | M 1M 2 |cos | a | cos ; a y | M 1M 2 |cos | a | cos ; a z | M 1M 2 |cos | a 的方向余弦. 上述cos 、cos 、cos 叫做向量 a

向量的模的坐标表示： | 2 2 2 |a . ax a y az