高数

《 高等数学A 》期中考试试卷

：名一、填空题（本题共8小题, 每题4分, 满分32分. 请把答案填写在题中横线上）.

姓1．limx 0x2sin1

x

2=.

2. limxln(1 x)

x 01 cosx

=

.

1 etanx

, x 03. 若函数f(x)

x 2, 在 x = 0 处连续, 则 a= .

ae2x, x 0

4. 曲线 y x22x 1

的斜渐近线为y 11

：2x 4.

号学5. 设函数 y(x) 由方程 ey + xy e = 0 确定, 则

dy

dx 1

x 0

e

.

6．已知 f (x) = ln(1 + 2x), 则 f (n)(0) =( 1)n 12n(n 1)!.

7. 函数 f (x) = xsinx + cosx 在区间 [0, /2] 上的最大值为 /2 .

8. y x 4

x

的凹区间为(0, ).

二、选择题（本题共8小题,每题4分，满分32分.请把唯一正确选项填在题后括号内）.

1．设 {an}, {bn}, {cn} 均为非负数列, 且limn an 0, limn bn 1, limn

cn ,下列说法正确是

：级( D ).

班(A) an < bn, n N+ (B) bn < cn, n N+ (C) limn

ancn不存在 (D) limn

bncn不存在

1x

2．设函数 f(x)

e 11, 则 x = 0 是 f (x) 的 ( B )

ex

1

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点

3．设函数 f (x) 在 x = a 的某邻域内有定义, 则 f (x) 在 x = a 处可导的一个充分条件是 ( D ) .

(A) 1f(a 2h) f(a hlim h[f(a h) f(a)]存在 (B) h)

h 0h

存在

(C) f(a h) f(a h)2h存在 (D) f(a) f(a h)

h 0

h 0h

存在

4．设函数f (x) 在 ( , + ) 内连续, 其导函数的图形如图所示, 则f (x) 有 ( C

).

(A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点

(C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点

5．设当x 0 时, (1 cosx)ln(1 + x2) 是比 x sinxn 高阶的无穷小, 而 xsinxn 是比ex2

1高阶的无穷小, 则正整数 n 等于 ( B ).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6．设f (x), g(x)是恒大于零的可导函数, 且 f (x)g(x) f (x)g (x) < 0, 则当 a < x < b时, ( A ).

(A) f (x)g(b) > f (b)g(x) (B) f (x)g(a) > f (a)g(x) (C) f (x)g(x) > f (b)g(b) (D) f (x)g(x) > f (a)g(a)

7. 数列

1

n－12

2

n－12

n－1

n－12

在n 时的极限为（ C ）

(A) 1 (B) 0 (C) 1/2 (D) 不存在

8. 设函数y f x 在x 1处可导，且lim

hh 0

fx fx 1

，则f x0 （ B ）

0 2h04

(A) 4 (B) 2 (C) 2 (D) 4

高数

三、计算题（本题共2小题，每题12分，满分24分.计算过程中请写出充分的演算步骤）.

1

1. 求极限 (1 x)x

e

x 0x

. 1

原式 =lim

e

x

ln(1 x) e

x 0

x

1

1

lime(ex

ln(1 x) 1 1)ln(1 x) 1

x 0x e limx 0x

1 e limln(1 x) x

1

x 0x2 e limx 02x

e lim

xx 02x(1 x) 1

2

e

1

或者原式 =lim

e

x

ln(1 x) e

x 0

x

1

ex

ln(1 x)

x (1 x)ln(1 x)

lim

x2(1 x)

x 0

1

1

limx

ln(1 x)x 0

e

lim

1x 01 x limx (1 x)ln(1 x)x 0x2

e 1 lim1 (ln(1 x) 1)

x 02x

e lim ln(1 x)x 02x e lim xx 02x 1

2e

2. 设 x ln(1 t2)t

, 求 d2y

. y t arctandx2

(考查参数方程确定的函数的二阶导数, 参看P112第9(2))

dydy11

dx dx

2t2 t2, dt1 t

2

d2yddydt11 t21dx2

dt(dx) dx 2 2t t24t

四、证明题（本题满分12分. 证明过程中请写出必要的推理步骤和理论依据）.

f(x)设函数 f (x) 具有二阶连续导数, 且 f (0) = 0, 试证g(x)

x 0有一阶连续导数.

'x

f(0)

x 0

证明: 首先 limf(x)x limf(x) f(0)

x 0

g(x) lim

x 0

x 0x

f (0) g(0),说明 g(x) 在 x = 0 处连续. 当 x 0 时, g (x)

f (x)x f(x)x

2

f(x)

当 x = 0 时, g (0) g(x) g(0)x f (0)

f(x) xf (0)x 0x xlim 0 x xlim 0 x

2 f (x) f (0)xlim 0

2x 1

2

f (0)

而limg (f (x)x f(x)f (xx 0

x) lim

x 0

x2 lim)xx 02x 1

2

f (0) g (0). 因此结论成立.

第二题第8题，指数函数的指数部分为分式，求极限时一般都要考虑左右极限，且左右极限不等！！！！

111f(x)

ex

11

, lim1 ，lime 0，limex

x

1

ex 1

x 0

x

x 0 x 0

1 1 ex 1

11

1

11lim1 ，x

x

e 1x

x 0

xxlim 0 e ，xlim 0 1 lim

1 ex 1x 0 1 11

ex