同济大学 应用统计总复习(2011秋)

应用统计总复习

第一章一. 总体和样本总体 X ;

基本概念

样本 ( X 1 , , X n ) : X 1 , , X n独立同分布; 样本观测值 ( x1 , , xn ); 样本的联合密度函数 :f ( x1 , , xn ) f ( xi ).i 1 n

二. 经验分布函数1 称函数Fn ( x) { X 1 , , X n中小于或者等于x的个数} n 为经验分布函数. ( x) 1 {x , , x 中小于或者等于x的个数} 称函数Fn 1 n n 为经验分布函数观测值.

0, ( x) k , Fn n 1,

x x(1) x( k ) x x( k 1) x x( n )

三. 统计量样本均值 : 样本方差 : 修正样本方差 : 样本k阶原点矩 : 样本k阶中心矩 : 顺序统计量 :

1 n X Xi; n i 1 1 2 S n2

( X i X )2; i 1

n

1 * S n 1

(Xi 1

n

i

X) ;2

1 n k Ak X i ; n i 1 1 n Bk ( X i X ) k ; n i 1 X (1) min X i , X ( n ) max X i1 i n 1 i n

四. 正态总体下的抽样分布(1) 2分布 若X ~ (n), 则E ( x) n, D( X ) 2n.2

(2) t分布 若T ~ t (n), 则t p (n) t1 p (n).(3) F 分布 1 若F ~ F (m, n), 则Fp ( m, n) . F1 p (n, m)

五. 正态总体抽样分布性质(1) n X

2

~ N (0,1)nS 2 ( X i X )2 i 1 n

(2)

( n 1) S *2

2

2

~ 2 ( n 1)

(3) X 与S 2 (或S *2 )相互独立

六. 两个正态总体的抽样分布设( X 1 , , X m )取自正态总体N ( 1 , 12 ),2 (Y1 , , Yn )取自正态总体N ( 2 , 2 ),

(1)

( X Y ) ( 1 2 )

m

2 1

mi 1

2 2

~ N (0,1)

n

( X i 1 ) 2 (2) m 12 (Yi 2 ) 2 i 1 2 n 2 n

~ F (m, n)

S1*2 / 12 (3) *2 2 ~ F (m 1, n 1) S2 / 2 (4) mS12 2 nS2 2 2

12

~ 2 (n m 2)

( X Y ) ( 1 2 ) 2 (5) ~ t (m n 2)( 12 2 2 ) 1 1 Sw m n

设样本观测值为( x1, , x4 ) ( 6, 3,1, 4) 则次序统计量观测值为( x(1) , , x(4) ) _____, 秩统计量观测值为(r1 , r4 ) _________, 经验分布函数F4 ( x)在0处的值F4 (0) ______.

设总体X ~ N (0, 2 ),( X 1 , X 2 )为取自总体X 的样本， ( X1 X 2 )2 则P 161.5 ______(已知F0.95 (1,1) 161.5) 2 ( X1 X 2 )

设X 1 , , X 5独立同分布都服从N ( , 2 ), 则 则P E X 1 t0.95 (4) __________, 5 2 5 2 (Xi X ) i 1

X 1 5 _______, D ( ( X i X ) 2 ) ______. 5 4 i 1 ( X i X )2 i 1

42

设总体X ~ N ( 1 , 2 ), 总体Y ~ N ( 2 , 2 ), X 与Y 相互独立. ( X 1 , , X 9 )取自总体X 的一个样本, (Y1 , , Y5 )取自总体Y的一个样本,5 9 2 2 则D ( X i X ) (Yi Y ) __

____, i 1 i 1

9 2 (Xi X ) i 1 P 5 0.71174 _________(已知F0.9 (4,8) 2.81) (Yi Y ) 2 i 1

设总体X ~ N (1,4),( X 1 , X 2 , , X 8 )为总体抽出的样本.4 8 1 4 Y X i , 则E ( ( X i Y ) 2 ( X i 1) 2 ) ______ . 4 i 1 i 1 i 5

D ( ( X i Y ) 2 ( X i 1) 2 ) ________ .i 1 i 5

4

8

4 2 (Xi Y ) 1 P i 8 c 0.1, 则c _______ . ( X i 1) 2 i 5

第二章 参数估计一. 点估计的常用方法

1.矩估计替换 样本k阶原点矩 总体k阶矩

1 替换 X ik E ( X k ) n i 1

n

2. 极大似然估计

似然函数L( 1 , , k ) f ( xi ; 1 , , k );i 1

n

L( 1 , , k ) max L( 1 , , k )( 1 , , k )

1 1 例 : 若总体X ~ R( , ), 求 的极大似然估计. 2 2

极大似然估计不唯一

设总体 X 的概率函数为

X

1

2

3

Pr 1

(1 ) 2

0 1.( X 1 , , X 4 )是从该总体抽取的样本，并 测得其观测值为( x1 , , x4 ) (3,2,2,1), 则 的极大 似然估计值为 __________.

二. 点估计的评选标准(1) 无偏性 若 的估计量 ( X 1 , , X n )满足 E[ ( X 1 , , X n )] , 则称 为 的无偏估计(量). 样本均值X 是总体均值E ( X )的无偏估计量; 样本方差S 是总体方差D( X )的无偏估计量,*2

S 2不是总体方差D( X )的无偏估计量.

若 lim E[ ( X 1 , , X n )] ,n

称 ( X 1 , , X n )为 的渐近无偏估计量.

(2) 有效性 , 都是 的无偏估计量, 且 若 ) D ( ), D ( 比 有效. 则称 a ) 偏倚：b( ) E ( ) ; ) D ( ) b 2 ( ) b)均方误差 : r (

c) 最小方差无偏估计( Rao Crame r不等式)2 若{x : f ( x, ) 0}与 无关，令I ( ) E ln f ( x, ) , 则 [ g '( )]2 D g ( X 1 , , X n ) , nI ( )

[ g '( )]2 *效率： e( g ) D( g ) nI ( ) 若e( g ) 1, 则g ( X 1 , , X n )为g ( )的有效估计.

(3) 相合性 若 ( X 1 , , X n )是 的估计量, 且当n 时, P ( X , , X ) . (即 lim P(| | ) 0) 1 n n

则称 ( X 1 , , X n )为 的相合估计(量).

无偏估计：P(| | )

D( )

2 r ( ) 有偏估计：P(| | ) 2