（导学案）第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 §2.1

函数及其表示

1.函数的概念：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中， x＋1，x≤1，

设函数f(x)＝ 2 则f(f(3))＝(

，x＞1，

x

2

)

1213A. B．3 C.

D. 539

下列各表示两个变量x，y的对应关系，则下列判断正

确的是( )

1

a→b，b＝；

a

③A＝{x|x≥0}，B＝R，对应关系f：x→y，y2＝x； ④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系

f：每一个矩形都对应它的外接圆.

其中是从A到B的映射的为________.

类型二 判断两个函数是否相等

已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数与f(x)相等的

函数是( )

x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_____.

2.函数的表示方法：(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法.

3.构成函数的三要素：(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且完全一致，则称这两个函数相等.

4.分段函数：若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.

5.映射的概念：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.

6.映射与函数的关系：(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________.(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．

. 7.复合函数：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.

下列函数中，与函数y

＝

1

定义域相同的函数为( )

3x

A．y＝1sinx

B．y＝

lnxx C．y＝xe

x D．y＝sinxx

A.都表示映射，都表示y是x的函数B.仅③表示y是

x的函数 C．仅④表示y是x的函数 D．都不能表示y是x的函数

函数y＝－x－3x＋4

x

的定义域为________________.

规定记号“*”表示一种运算，且a*b＝ab＋

a＋b，a，b是正实数，已知1*k＝3.

(1)正实数k的值为____________；

(2)在(1)的条件下，函数f(x)＝k*x的值域是___________.

类型一 函数和映射的定义

下列对应是集合P上的函数的是________.

①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；

②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2

，x∈P，y∈Q；

③P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应.

(2013·

南昌模拟)给出下列四个对应： ①A＝R

，B＝R，对应关系f：x→y，y＝1

x＋1

②A＝{a|1}{b|b＝1

2a∈N*，B＝n，n∈N*}

，对应关系f：

1

2 |x2－1|A．g(x)＝|x－1|

，x≠－1，|x＋1|

B．g(x)＝ |x＋1|

2，x＝－1

C．g(x)＝ x－1，x＞0，

1－x，x≤0

D．g(x)＝x－1

(2013·

杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( )

A．f(x

)＝x，g(x)＝xB．f(x)＝|x|

1，x≥0，xg(x)＝ －1，x＜0

C．f(x)＝

2n＋1x＋，g(x)＝(2n－1x)2n－1

，n∈N* D．f(x)＝x

x＋1，g(x)＝x（x＋1）

类型三 求函数的定义域

(1)求函数f(x)1

2－|x|

x－1＋(x－4)0的定义域.

(2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，求y＝f(x2－3)的定义域.

(1)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数

f(x)的定义域.

(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(2x)的定义域.

类型四 求函数的值域

求下列函数的值域： (1)y＝1－x2

1＋x； (2)y＝2x1－x；

x2(3)y＝2x＋1－x； (4)y＝－2x＋5x－1

；

(5)y＝a2＋16

（a－b）b

(a＞b＞0)；