力学主讲教师：刘树新 北京大学物理学院

第零章数学补充知识A B C D 行列式 矢量的代数运算 一元函数微积分 多元函数微积分

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A 行列式A.1 行列式2 1 -1 1 -2 -1 1 -1 2 i j k x y z Fx Fy Fz

2

a1 1 a1 2 a1 3三阶行列式可以一般地表述成

a21 a22 a23 a3 1 a3 2 a3 3

元素：

aij

i: 行标; j: 列标

2阶、1阶、零阶行列式分别表述成

a1 1 a1 2 a21 a22

a1 13

行列式的运算规则可用下述递归方式定义：

定义

1

a11 a11 a11

a1 1 a1 2 a1 1 a 2 2 a 2 1 a1 2 a2 1 a2 2

a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11 a 31 a 32 a 33

a 22 a 23 a 32 a 33

a 21

a12 a13 a 32 a 33

a 31

a12 a13 a 22 a 234

性质1:行列可互换性 i j k x Fx z Fz i Fx j y Fy k z Fz

y Fy x

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性质2:一行的公因子可以提出

a1 1 a3 1

a1 2 a3 2

a1 3 a3 3

a1 1 a1 2 a1 3 a3 1 a3 2 a3 3

ka 2 1 ka 2 2 ka 2 3 k a 2 1 a 2 2 a 2 3

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性质3:对换行列式中两行的位置， 行列式反号。 性质4:如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零。

a1 1 a3 1

a1 2 a3 2

a1 3 a3 37

ka1 1 ka1 2 ka1 3 0

A.2 应用线性代数方程组 a1 1x1 a1 2x 2 a1 3x 3 b1 a 2 1x1 a 2 2x 2 a 2 3x 3 b 2 a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2a 1 1 a1 2 a1 3

引入分母行列式 D a 2 1 a 2 2 a 2 3a31 a32 a33

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引入分子行列式

b1 D1 b 2 b3方程组的解能表述为

a1 2

a1 3

a 2 2 a 2 3 , D2 a3 2 a3 3

Di xi D

i 1,2,3

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例1. 公比0≤q<1的无穷等比级数求和

S a aq aq aq 2 3

a q a aq aq aq a qS2 3

a S 1 q10

例2. 求无穷串并联系列的电阻A R

B

设AB间的电阻为RAB 则有RAB 2 R 1 1 1 R RAB

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思考题1:取火柴游戏N根火柴，2人取，每人一次取 1至a根，最后取者为负(a>1) 对先取者，什么样的N是必胜态，

什么样的N是必败态

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思考题2:机器猫与玩具鼠鼠 不动 猫½ 1 ½ 2 3

0

只要猫捉到鼠，游戏结束，问猫捉到鼠 的概率P=?13

B 矢量的代数运算B.1 矢量的叠加与分解标量：只有大小，没有方向 既有大小，又有方向的量是矢量，记为 矢量的大小称为矢量的模，记为 A

A

单位方向矢量 A A 或 A / A

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万有引力定律M

F

r

m

Mm F G r 3 r

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矢量的代数性质矢量与标量的关系 数乘：标量与矢量的乘积仍是一个矢量

A B

矢量之间的关系 矢量的叠加:矢量的和 标积和矢积：矢量的乘

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两个矢量的和

A B C

A

C B

A1 A 2 A 3 (A1 A 2 ) A 3矢量的叠加满足交换律和结合律

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矢量的分解 i x轴单位矢量 y轴单位

矢量 j z轴单位矢量 k A A x i A y j A zk

Az

z k

A j

x

i Ax

Ay

y

A xy

可简写为: A : A x , A y , A z 或 A x , A y , A z A B A x i A y j A zk Bx i By j Bzk A x B x i A y B y j A z B z k

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k维空间 K维空间矢量 A A1e1 A 2e 2 A ke k A ieii 1 k

矢量的模 矢量的和

A

2 A i i 1

k

k A B (A i B i )e i i 1

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思考题3: k维空间正方“体”顶点数 3维正方体 2维正方“体” 8 4 棱数 12 4 面数 6 4 面积 6a2 4a 体积

a3 a2

1维正方“体”

2

1

2

2

a

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