现代控制理论

第3章 控制系统的能控性和能观测性在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统 构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。 本章的内容为： 1. 2. 3. 4. 引言——能控性、能观测性的基本概念 能控性及其判据 能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性

5.

对偶原理

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6. 7. 8. 9. 10.

能控标准形和能观测标准形 能控性、能观测性与传递函数的关系 系统的结构分解 实现问题 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性

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3.1

引言

首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。

例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 u C 为状态变量， u (t ) x 。C 电桥平衡时，不论输入电压 u 即： 如何改变， x ( t ) u C 不随着 u (t ) 的变化而改变，或者说状态变量不受 u (t ) 的控 制。即：该电路的状态是不能控的。 显然，当电桥不平衡时， 该电路的状态是能控的。

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例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 x 变量，即： 1 u C 1 , x 2 u C 2 ,电路的输出 y 为C2上的电压， 即 y x 2 ,则电路的系统方程为 2 x Ax bu 1 1 1 x u 2 1

y Cx 0 t 3t 1 e e t 3t 2 e e

1 x 3t

系统状态转移矩阵为 如果初始状态为 0 x (0 ) 0

e

At

t 3t e e e e

t

系统状态方程的解为 1 t ( t τ ) x (t ) e u (τ ) d τ 0 1

可见，不论加入什么样的 输入信号，总是有 x 1 x 2

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一般情况下，系统方程可以表示为 x Ax Bu y Cx

(1)

状态能控与否，不仅取决于B 阵(直接关系),还取决于A 阵(间 接关系)。 系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。y 例3-3 电路如下图所示。选取 u (t )为输入量， (t ) 为输出量，两个电 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为 -2 x Ax B u 1 t 3t 1 e e t 3t 2 e e

1 1 x u -2 0 t 3t

y C x 1

1 x

系统状态转移矩阵为eAt

t 3t e e e e

系统状态方程的解为x (t ) eAt

x (0)

t

e

A (t τ )

b u (t τ ) d τ

0

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为了简便起见，令y (t ) C eAt

u (t ) 0

则

x (t ) e 3t

At

x (0)

x ( 0 ) [ x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )] e

从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其差 值 [ x1 ( 0 ) x 2 ( 0 )] 。当 x1 ( 0 ) x 2 ( 0 ) ,则输出恒等于零。显然，无法通过对 输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。 一般

情况下，系统方程如式(1)所示，状态能观测与否，不仅取 决于C 阵(直接关系),还取决于A阵(间接关系)。

对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C,还与A 有关。

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3.21. 能控性定义

能控性及其判据

3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据

线性定常系统的状态方程为 x Ax Bu

(2)

给定系统一个初始状态 x ( t 0 ) ,如果在 t1 t 0 的有限时间区间[ t 0 , t1 ] 内，存在容许控制 u (t ) ,使 x ( t1 ) 0 ,则称系统状态在 t 0 时刻是 能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完 全能控的。 说明： 1) 初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是 状态空间的坐标原点。(如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐 标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。)

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2)如果在有限时间区间[ t 0 , t1 ] 内，存在容许控制 u (t ) ,使系统 x 从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 ( t1 ) ,则称系统是状态 能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能 控性和能达性是等价的。3)只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4)满足(3)式的初始状态，必是能控状态。x (0 ) t1

e

Aτ

Bu ( τ ) d τf (t )

(3) 时，f (t ) 不会改 (4)

0

5)当系统中存在不依赖于 u (t ) 的确定性干扰 变系统的能控性。 x Ax Bu f (t )

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2. 能控性判据

定理3-1 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是 下面的n×n维格拉姆矩阵满秩W C ( 0 , t1 )

t1

e

Aτ

BB

T

e

A τ

T

dτ

0

(5)

(证明参见教材84页)

(这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵， 比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。)

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定理3-2 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的n×nr 维能控性矩阵满秩。QC [B AB A B2

A

n 1

B]

(6)(7)n 1

rank Q C n

证明e Aτ

应用凯-哈定理，有 a 0 ( τ ) I a 1 ( τ ) A a n 1 ( τ ) An- 1

ai (τ ) A

i

上式代入(3)式

x (0) A B i i 0

n 1

i 0

t1 0

a i ( τ )u ( τ ) d τ

(8)

β i1 t1 βi2 a i ( τ )u ( τ ) d τ i 0 β ir

( i 0 ,1, , n 1)

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