现代控制理论

第3章 控制系统的能控性和能观测性在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统 构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。 本章的内容为： 1. 2. 3. 4. 引言——能控性、能观测性的基本概念 能控性及其判据 能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性

5.

对偶原理

现代控制理论

6. 7. 8. 9. 10.

能控标准形和能观测标准形 能控性、能观测性与传递函数的关系 系统的结构分解 实现问题 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性

现代控制理论

3.1

引言

首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。

例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 u C 为状态变量， u (t ) x 。C 电桥平衡时，不论输入电压 u 即： 如何改变， x ( t ) u C 不随着 u (t ) 的变化而改变，或者说状态变量不受 u (t ) 的控 制。即：该电路的状态是不能控的。 显然，当电桥不平衡时， 该电路的状态是能控的。

现代控制理论

例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 x 变量，即： 1 u C 1 , x 2 u C 2 ,电路的输出 y 为C2上的电压， 即 y x 2 ,则电路的系统方程为 2 x Ax bu 1 1 1 x u 2 1

y Cx 0 t 3t 1 e e t 3t 2 e e

1 x 3t

系统状态转移矩阵为 如果初始状态为 0 x (0 ) 0

e

At

t 3t e e e e

t

系统状态方程的解为 1 t ( t τ ) x (t ) e u (τ ) d τ 0 1

可见，不论加入什么样的 输入信号，总是有 x 1 x 2

现代控制理论

一般情况下，系统方程可以表示为 x Ax Bu y Cx

(1)

状态能控与否，不仅取决于B 阵(直接关系),还取决于A 阵(间 接关系)。 系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。y 例3-3 电路如下图所示。选取 u (t )为输入量， (t ) 为输出量，两个电 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为 -2 x Ax B u 1 t 3t 1 e e t 3t 2 e e

1 1 x u -2 0 t 3t

y C x 1

1 x

系统状态转移矩阵为eAt

t 3t e e e e

系统状态方程的解为x (t ) eAt

x (0)

t

e

A (t τ )

b u (t τ ) d τ

0

现代控制理论

为了简便起见，令y (t ) C eAt

u (t ) 0

则

x (t ) e 3t

At

x (0)

x ( 0 ) [ x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 )] e

从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其差 值 [ x1 ( 0 ) x 2 ( 0 )] 。当 x1 ( 0 ) x 2 ( 0 ) ,则输出恒等于零。显然，无法通过对 输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。 一般

情况下，系统方程如式(1)所示，状态能观测与否，不仅取 决于C 阵(直接关系),还取决于A阵(间接关系)。

对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C,还与A 有关。

现代控制理论

3.21. 能控性定义

能控性及其判据

3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据

线性定常系统的状态方程为 x Ax Bu

(2)

给定系统一个初始状态 x ( t 0 ) ,如果在 t1 t 0 的有限时间区间[ t 0 , t1 ] 内，存在容许控制 u (t ) ,使 x ( t1 ) 0 ,则称系统状态在 t 0 时刻是 能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完 全能控的。 说明： 1) 初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是 状态空间的坐标原点。(如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐 标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。)

现代控制理论

2)如果在有限时间区间[ t 0 , t1 ] 内，存在容许控制 u (t ) ,使系统 x 从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 ( t1 ) ,则称系统是状态 能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能 控性和能达性是等价的。3)只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4)满足(3)式的初始状态，必是能控状态。x (0 ) t1

e

Aτ

Bu ( τ ) d τf (t )

(3) 时，f (t ) 不会改 (4)

0

5)当系统中存在不依赖于 u (t ) 的确定性干扰 变系统的能控性。 x Ax Bu f (t )

现代控制理论

2. 能控性判据

定理3-1 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是 下面的n×n维格拉姆矩阵满秩W C ( 0 , t1 )

t1

e

Aτ

BB

T

e

A τ

T

dτ

0

(5)

(证明参见教材84页)

(这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵， 比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。)

现代控制理论

定理3-2 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的n×nr 维能控性矩阵满秩。QC [B AB A B2

A

n 1

B]

(6)(7)n 1

rank Q C n

证明e Aτ

应用凯-哈定理，有 a 0 ( τ ) I a 1 ( τ ) A a n 1 ( τ ) An- 1

ai (τ ) A

i

上式代入(3)式

x (0) A B i i 0

n 1

i 0

t1 0

a i ( τ )u ( τ ) d τ

(8)

β i1 t1 βi2 a i ( τ )u ( τ ) d τ i 0 β ir

( i 0 ,1, , n 1)

现代控制理论

于是

x (0 ) [ B

AB

β0 β1 n- 1 A B ] β n 1

(9)

如果系统能控，必能够从(9)式中解得 0 , 1 , … , n 1 。这 样就要求rank Q C rank[ B AB A B2

A

n 1

B] n

(

本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。)

现代控制理论

定理3-3 (PBH判别法) (2)式的线性定常系统为状态能 控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λ i ,都有rank [ λ i I A B] n

( i 1, 2 , , n )

(10)

(证明略) 定理3-4 (2)式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λ i 互异，( i 1, 2 , , n ) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵0 λ2 (11) x Bu λn 则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中不包含元素全为零的行。 λ1 x 0

(可以应用定理3-2证明，详见教材87页)

现代控制理论

例3-6 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。(1) 7 x 0 7 x 0 5 0 2 x 0 u 9 1 0 0 x 4 7 1 1 0 u 5

(2)

5

解 根据定理3-4, 系统(1) 不能控 ； 系统(2)能控。

现代控制理论

定理3-5(2)式的线性定常系统的矩阵 A 具有重特征值，λ1、λ 2、λ 3 、…、 λ 分别为 l1 重、 2 重、 3 重、…、l k l l k

重。

且 i 1

k

li n

λ , i λ j ,( i j ) 经过非奇异线性变换，得到约当阵

J1 x 0

J2

0 x Bu Jk

λi Ji 0

1 λi

0 1 λi

(12)

则系统能控的充分必要条件是矩阵 一行对应行的元素不全为零。

B

中与每一个约当子块最下面

现代控制理论

例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。 (1) 解 4 x 0 0 1 4 0 0 0 0 x 4 u 3 2

(2)

4 x 0 0

1 4 0

0 4 0 x 0 3 2

2 0 u 0

根据定理3-5, 系统(1)能控 ； 系统(2)不能控

(定理(3-4)、定理(3-5)不仅可以判断系统能控性，而且对 于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。) 说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们 的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等 价的。

2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此， 能控性判据同样可以判断能达性。

现代控制理论

3.2.2 线性时变系统的能控性判据 线性时变系统的状态方程为 x A (t ) x B (t ) u

x (t0 )

(13)

定理3-6 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t 0 ,使得函数矩阵 ( t 0 , t1 ) B ( t ) 的n个行在 [ t1 , t 0 ] 上线性无关。 (证明略)