3_2特殊矩阵,方阵的行列式

第二节

特殊矩阵 方阵乘积的行列式

一.特殊矩阵及其运算性质 1. 单位矩阵形如

1 0 L 0 0 1 L 0 M M 0 0 L 1

称为n阶单位 的n阶方阵称为 阶单位 阶方阵称为 矩阵.记为 简记为E. 记为En,简记为 矩阵 记为 简记为

该方阵的特点是主对角线上的元素都是1, 该方阵的特点是主对角线上的元素都是 主对角线上的元素都是 S 其他元素都是0. 其他元素都是 其第i行第 列的元素为 其第 行第j列的元素为 δ ij 行第

1 i = j S = 0 i ≠ j

易证

( 1) EA = AE = A, ( A为任意n阶方阵 )

( 2 ) Em Am×n = Am×n En = Am×n3 ) E n = E , 其中n为正整数 (

单位矩阵在矩阵乘法运算中的作用与数1在 单位矩阵在矩阵乘法运算中的作用与数 在 数的乘法运算中的作用类似。 数的乘法运算中的作用类似。规定

A0 = E

2. 数量矩阵形如

记作

a 0 L 0 0 a L 0 M M 0 0 L S a S diag (a a L a )

称为n阶 的n阶方阵称为 阶 阶方阵称为 数量矩阵. 数量矩阵

(2) (aE )A = a(EA) = a( AE ) = (aA)E = A(aE ) A为任意 n阶矩阵 (aE )为任一 n阶数量矩阵阶方阵A相乘可交换。 这说明n阶数量矩阵与任一n阶方阵A相乘可交换。

显然 ( 1) diag ( a , a ,L a ) = aE

λ1 3. 对角矩阵 0 形如 M 0 记作 A =显然

0 λ 2 L 0 的n阶方阵称为 阶 称为n阶 阶方阵称为 对角矩阵. M 对角矩阵 0 L λn S S diag (λ1 λ 2 L λn ) 0 L

对角矩阵有如下性质: 对角矩阵有如下性质:

若A与B都为同阶对角矩阵, 则

( 1) kA, A + B, AB, Am仍为对角矩阵. ( 2 ) AB = BA

即对角矩阵具有如下性质

(1)diag (a1 , a2 ,L an ) ± diag (b1 , b2 ,L bn ) = diag (a1 ± b1 , a2 ± b2 ,L, an ± bn )(2)kdiag (a1 , a2 ,L an ) = diag (ka1 , ka2 ,L, kan )

(3)diag (a1 , a2 ,L an ) diag (b1 , b2 ,L bn ) = diag (b1 , b2 ,L bn ) diag (a1 , a2 ,L an ) = diag (a1b1 , a2 b2 ,L, an bn ) (4) diag (a1 , a2 ,L an ) 其中m为正整数m

= diag (a1m , a2 m ,L an m )

例1设 设

λ 0 A = 0

1

λ0

0 求 A n . 其中 n 为正整数 1 λ

λ 0 解 A= 0 0 而 B2 = 0 0 3 2

0

λ01 0 0

0 0 + 0 0 λ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 0 = λE + B 0 1 0 0 0 0 0 1 1 = 0 0 0 0 0 0 0

B =B B=0

可交换,所以利用二项式定理 因数量矩阵 λ E 与 B 可交换 所以利用二项式定理 得:

A = (λ E + B )n

n

1 2 = ( λ E ) n + C n ( λ E ) n 1 B + C n ( λ E ) n 2 B 2 + L + B n

= λ E + nλn

n 1

n(n 1) n 2 2 B+ λ B 2

λn 1 0 0 nλ n 1 0 n n 1 1 + 0 0 nλ = 0 λ 0 0 λn 0 0 0 n(n

1) n 2 λ n nλ n 1 n(n 1) λ n 2 λ 0 0 2 2 n n 1 = 0 λ nλ 0 + 0 0 0 λn 0 0 0 0

a11 a12 0 a 4. 三角矩阵 22 上三角矩阵 L L 0 0 三角矩阵 a11 0 下三角矩阵 a a22 21 L L a n1 a n 2

L a1n L a2 n L L L ann 0 0 L L L ann L L

上三角矩阵的特点是主对角线下方的元素全为0. 上三角矩阵的特点是主对角线下方的元素全为 三角矩阵的特点是主对角线上方的元素全为0. 下 三角矩阵的特点是主对角线上方的元素全为

可以验证： 可以验证： 为同阶同结构的三角矩阵, 若A,B为同阶同结构的三角矩阵,则 kA A + B AB 仍为同阶同结构的 三角矩阵.

a11 a12 L 0 a L 22 L L L 0 L 0 * a11b11 0 a22 b22 = L L 0 0

a1n a2 n L ann L L

b11 b12 L b1n 0 b L b 22 2n L L L L 0 L bnn 0 * *表示主对角线上方 * 表示主对角线上方 的元素. 的元素 L L L ann bnn

5. 转置矩阵定义 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的 AΤ . 新矩阵， 的转置矩阵， 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作

如

1 2 2 A= , 4 5 8 B = (18 6),

1 4 T A = 2 5 ; 2 8

18 B = . 6 T

转置矩阵的运算性质

(1) (A

T T

)

= A;T

(2) ( A + B ) = AT + BT ;

( 3) ( λ A)

T

= λ A ( 其中λ 为任意数 ) ;T

(4) ( AB )T = BT AT .

( 5 ) ( A1 A2 L Ak )

T

= Ak T Ak 1T L A1T .

例2

已知

1 7 1 T 2 0 1 A= , B = 4 2 3 , 求 ( AB ) . 1 3 2 2 0 1 解法1 解法 1 7 1 0 14 3 2 0 1 , Q AB = 4 2 3 = 1 3 2 17 13 10 2 0 1 0 17 T ∴( AB) = 14 13 . 3 10

解法2 解法

( AB ) = BT ATT

1 4 2 2 1 0 17 = 7 2 0 0 3 = 14 13 . 1 3 1 1 2 3 10

6.对称矩阵和反对称矩阵 6.对称矩阵和反对称矩阵定义 阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，如果满足AT = A, 即 a ij = a ji (i , j = 1 ,2 ,L , n ) 那么 A 称为对称矩阵 称为对称矩阵. 对称矩阵

12 6 1 如 A = 6 8 0 为对称阵. 1 0 6