第五章 定积分积分学

不定积分定积分

第一节 定积分的概念一、定积分问题举例

第五章

二、 定积分的定义三、 定积分的性质

一、定积分问题举例矩形面积

梯形面积

1. 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 S .

y f (x)

S ?

yy f (x)

设 f ( x) 0,f ( x)在[a, b]上连续

O

a x1

xi 1 xi任意引入分点

b

x称为区间的一个分法 T

第一步：分割

a x0 x1 xi 1 xi xn 1 xn b ,将 [a, b]分 成 n 个小区间[ xi 1, xi ] (i 1,2, , n).用 xi xi xi 1 表示第 i 个小区间的长度.

第二步：近似代替

i [ xi 1 , xi ], 则小曲边梯形面积: Si f ( i ) xi . Si 与 i 的选择有关.

xi 1 i xi

对每个小曲边梯形均作上述的代替

yy f (x)

如何求精确值？极限过程是什么？xi 1 xi

O

a x1

b

x

第三步：求和

曲边梯形面积 : S Si f ( i ) xi .i 1 i 1

n

n

S 与分法 T 及点 i 的选择有关.

yy f (x)

O

a x1

xi 1 xi

b

x

第四步：取极限

令 x max{ xi } (i 1,2, n), 则

曲边梯形面积: S lim

极限存在与否， 与分法 T 及点 i 的选择无关.

x 0 i 1

f ( i ) xi .

n

2. 变速直线运动的路程设某物体作直线运动, 已知速度 且

求在运动时间 [ , ] 内物体所经过的路程 S .解决步骤:

1) 分割n 个小段 过的路程为

将它分成 在每个小段上物体经

2) 近似代替 si v( i ) t i (i 1, 2, , n)

得

3) 求和

4) 取极限

上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 :

分割 — 近似代替 — 求和 — 取极限所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限

通常人们把这类方法所处理的问题的结果，即这种极限值，称为函数 f ( x) 在区间[a, b] 上的定积分.

二、定积分定义任一种分法

a x0 x1 x2 xn b ,

任取

总趋于确定的极限 I , 则称此极限值 I 为函数 上的定积分, 记作 f ( x) d xa b

在区间

即

a f ( x) d x lim 0 i 1 f ( i ) xi x

b

n

o a x1

i xi 1 xi b x

此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .

积分上限

[a , b] 称为积分区间

a积分下限

b

f ( x) d x lim f ( i ) xi x 0 i 1

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式n

积 分 变 量

积 分 和

b 曲边梯形面积: S lim f ( i ) xi f ( x) d x a x 0 i 1

v(t ) dt

关于定积分定义的几点说明(1) 定积分 f ( x) d x 是一个极限值 (具体的数 ),a b

它与分法 T 及点 i 的选择无关 , 只与f ( x) 及 区间[a, b] 有关.(2) 定积分与积分变量的记 号无关：

a f ( x) d x

a f ( y) d y a f (t ) d t .

b

b

b

定积分的几何意义：在区间[a,b]上，当f(x) 0时，积分

a f ( x)dx曲边梯形的面积； y

b

,

在几何上表示由曲线y f (x)、两条直线x a、x b 与x 轴所围成的

y = f(x)

a f ( x)dxOa

b

,b x

当f(x) 0时，由曲线y f (x)、两条直线x a、x b 与x 轴所围

成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分在几何上表示上述曲线 边梯形面积的负值：S [ f ( x)]dxa b b

y

y = f(x)

lim [ f ( i )] xi 0i 1

n

S [ f ( x)]dxa

lim f ( i ) xi . 0i 1

n

O

a

b

x

, a f ( x)dx Sy = f(x)

b

a f ( x)dx . ,

b

我们对面积赋以正负号：在x轴上方的图形面积赋以正号，在 x 轴下方的图形面积赋以负号. 在一般情形下，定积分 f ( x)dx , 的几何意义为： a 它是介于x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 x a、x b之间的各部 分面积的代数和. y y = f(x) + a O + b xb

例1. 利用定义计算定积分解: 将 [0,1] n 等分, 分点为

y

取

y x2

o f ( i ) xi 1 i 2 1 1 n(n + 1)(2n + 1) i 1 n3 i 1 n3 6 1 1 1 (1 + )(2 + ) 6 n nn n

i n

1x

1 2 x 0

dx lim i xi lim2

n

0 i 1

n

1 3

喂！请问什么样的函数可积？

喂! 下面是几个关于函数可积性的定理.

运用定积分的概念及定积分的几何 意义, 由函数的极限运算性质容易证明 它们, 所以我们在这里不进行证明.

且只有有限个间断点,

四、定积分的性质性质 1交换积分上、下限, 定积分反号:

a f ( x) d x b特别地， f ( x ) d x 0 a a

b

a

f ( x) d x .

性质 2

b a a k f ( x) d x k b f ( x) d x .