第13章★ 力的功

动能定理

★ 质点和质点系的动能 ★ 动能定理

★ 势力场· 势能· 机械能守恒定律★ 功率· 功率方程· 机械效率 ★ 质点系普遍定理的综合应用

★ 结论与讨论

★ 从汽车的驱动问题看 动量方法与能量方法从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力 maC = F1 - F2 - Fr

F1 -汽车行驶的驱动力C Fr W Mf2 FN2 F2

F1 >F2 +Fr 汽车向前行驶

Mf1F1 F N1

★ 从汽车的驱动问题看 动量方法与能量方法 如果发动机的功率很小而摩擦力很大 如果发动机的功率很大而摩擦力很小

如何评价发动机功率对驱动汽车行驶的作用？

§14-1 力的功a. 常力的功M M1 S

F M2

W F cos s

功是代数量，其国际单位制为 J(焦耳)。b. 变力的功

W F cos dsW F cos ds0 s

W F drW M2 M1

F dr

F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk

W12

M2

M1

( Fx dx Fy dy Fz dz )

W F dr F vdtW M2 M1

F vdt

c. 几种常见力的功 (1)重力的功

X 0, Y 0, Z mgz2 z1

x

W12 mgdz mg ( z1 z 2 )

重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关， 与运动轨迹形状无关。 质点系：

W

12

mi g ( zi1 zi 2 )

W 12 mg ( zC1 zC 2 )

(2)弹性力的功

F k F k (r l0 )r0W12

A2

A1 A2

F dr k (r l0 )r0 dr

A1

r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr r 2r 2r W12 r2 r1

k k (r l0 )dr [( r 1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 ] 2

k 2 2 W 12 ( 1 2 ) 2

(3)定轴转动刚体上作用力的功

z

F

W F dr F ds F Rd M z ( F ) F R

R

A

y

W M z d W 12

x

F

21

M z d

A

Fn

Fxy

(4)平面运动刚体上力系的功

Fi driC Mi

dri drC dric W Fi dri Fi drC Fi driC

d

Fi driC Fi cos CM i d M C ( Fi )d

drC

C

W Wi Fi drC M C ( Fi )d drC M C d FR

dr C M C d W 12 FRC1

C2

2

1

§14-2 质点和质点系的动能质点的动能

1 2 T mv 2

动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点 速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的 一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种 度量。动能与功的量纲相同，也为 J 。 质点系的动能1 T mi vi2 i 2

刚体的动能 a. 平动刚体的动能

1 1 2 1 2 2 T mi vi vC mi mvC 2 2 i 2b. 定轴转动刚体的动能1 1 2 T mi vi mi (ri ) 2 i 2 i 2 1 2 mi ri 2 2 i 1 J z 2 2

z

ri

vimi

y x

c. 平面运动刚体的动能1 T J P 2 2

J P J C md

2

dC

P

1 1 2 T J P ( J C md 2 ) 2 2 2

v C d

vC

1 2 1 2 T mvC J C 2 2C

vC

1 2 1 T mvC J C 2 2 21 J C mR 2 , vC R 2

3 2 T mvC 4

§14-2 动能定理1. 质点的动能定理dv m F dt dv m dr F dr dt

mv dv F dr

1 1 v dv d (v v ) d (v 2 ) vdv 2 2

1 d ( mv 2 ) W 2

1 1 2 2 mv2 mv1 W12 2 2

2. 质点系的动能定理1 d ( mi vi2 ) Wi 2 1 d ( mi vi2 ) Wi 2

dT Wi质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作 的元功的和 微分形式。

T2 T1 Wi质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作 用于质点系全部力所作功的和 积分形式。

3. 理想约束dr F′O

dr1 FB

O

1

F1

2

F2

dr2

A

W F dr F dr 0C

W F1 dr1 F2 dr2 F1dr1 cos 1 F2 dr2 cos 2 0

F FN

W F dr F v dt 0

约束反力作功等于零的约束

理想约束。

4. 内力的功z A rAO

FA 和FB 在drA 和drB 上所作之元功

dW i FA d rA FB d rBFA FB rB B y

FB (-d rA d rB ) FB d(rB - rA )

FB d rAB这一结果表明：当两点 之间的距离发生变化时， 这两点之间的内力所作之 元功不等于零。

x

rB rA rABd rB d rA d rAB

工程上几种内力作功的情形◆ 作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例 如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内 力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁 间的内力；这些内力都要作功。 ◆ 有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。

对于简单的刚体系统，将力分为主动力和约束反力， 当其为理想约束时，约束反力不作功。

T2 T1 Wi

(主)

求：G/G0 =? 解：取车研究对象，设弹簧的 最大变形为 m (1) 车下滑到弹簧压缩至最大

例题13-1 已知：摩擦阻力为车重的0.2倍，空车重G0

30°

由动能定理得

k 2 W12 G (l m ) sin 30 0.2G (l m ) m 2

(2) 车卸料后又弹回原位置，由动能定理得

k 2 0 0 G (l m ) sin 30 0.2G (l m ) m 2

k 2 0 0 G0 (l m ) sin 30 0.2G0 (l m ) m 2

G sin 30 0.2 7 解得： G0 sin 30 0.2 3

例题13-2

均质圆轮半径为R、质量为m,圆轮对转轴的转动 惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动， 已知重物重量为W。 O

求：重物下落的加速度

解：取系统为研究对象

T1 0 1W 2 1 T2 v J O 2 2 g 2主动力的功：

v Rs Pv W

W12 Ws1 W 2 1 JO 2 v v 0 Ws 2 2 g 2R

由动能定理得：

将上式对时间求导，并注意

dv ds a, v dt dt

解得：

WR a W (JO R2 ) g

2

O

s P由动能定理得：

1 W 2 1 JO 2 v v 0 Ws 2 2 g 2R

v W

将上式对时间求导，并注意

dv ds a, v dt dt

例题13-3 已知： m ,R, f , 。求： 纯滚时盘心的加速度。 解：取系统为研究对象C

vC

sF

T1 0 1 1 2 T2 mvC J C 2 2 2

vC R

mg

FN

3 2 T2 mvC 4主动力的功： W12 由动能定理得：

mgs sin 3 2 mvC 0 mgs sin 4

解得：

2 a g sin 3