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倍数与因数

如果a×b=c(a、b、c都是不为0的整数),那么a、b就是c的因数， c就是a、b的倍数。 1、在整数中，0是一个特殊的数，0是任何一个非零自然数的倍数， 任何非零自然数都是0的因数。 2、0是2的倍数，是自然数中最小的偶数。 1、列举法 例如：18的因数有1.2,3,6,9,18。 2、集合表示法 1、列举法 例如：2的倍数有2,4,6,8,…… 2、集合表示法

0的特殊性

因数的 表示方法 倍数的 表示方法

1、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最大的因 因数和倍数的 数是它本身。 特征 2、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有 最大的倍数。 2的倍数 的特征 4的倍数 的特征 8的倍数 的特征 偶数 个位上是0,2,4,6,8的数，都是2的倍数。

一个数的末两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数。 一个数的末三位数是8的倍数，这个数就是8的倍数。

在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数。如果a是自然数，偶数可以 用2a表示。0是最小的偶数。 在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。如果a是自然数，奇数可 以用2a-1(或2a+1)表示。1是最小的奇数。 1、自然数可以分成奇数和偶数。 2、自然数(0除外)按因数个数的多少可以分为：质数、合数和1。

奇数

自然数

奇数±奇数=偶数； 偶数±偶数=偶数； 奇数和偶数的 奇数±偶数=奇数； 奇数×奇数=奇数； 运算性质 偶数×偶数=偶数； 偶数×奇数=偶数； 5的倍数 的特征 个位上是0或5的数，都是5的倍数。第 1 页，共 8 页

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同是2和5的倍 个位上是0的数，同时是2和5的倍数。 数的特征 25的倍数 的特征 125的倍数 的特征 3的倍数 的特征 9的倍数 的特征 11的倍数 的特征 一个数的末两位是25的倍数。

一个数的末三位是125的倍数。 一个数各位上的数字和是3的倍数。(筛法：先筛去3的倍数和3,剩 余数字的和为3 的倍数，原数就是3的倍数。) 一个数各位上的数字和是9的倍数。 一个数的奇数位上的数字之和，同偶数位上的数字之和的差是11的 倍数。

7或13的倍数的 若一个数的末三位数与末三位数前的数字所组成的数的差是7或13的 特征 倍数。 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。 (也叫素数)最小的质数是2,没有最大的质数。 2、质数中只有2是偶数，2是唯一的偶质数。 3、除2外，其他质数都是奇数，但奇数不完全是质数。 一个数，如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数。 最小的合数是4。没有最大的质数。 1 既不是质数也不是合数。 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47, 53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都

是 这个合数的质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来就是分解质因数。

质数

合数

1 100以内 质数表 质因数

分解质因数

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质因数与分解 质因数是一个数，而且必须是质数，它是相对于某个合数而言的。 质因数的区别 分解质因数是把一个合数变成几个质数相乘的形式过程。 分解质因数的 1、“树枝图式分解法。 方法 2、短除法。 1、长方体有：6个面，12条棱，8个顶点。 2、长方体相对的面完全相同，相对的棱长相等。 长方体的特征 3、相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高 4、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4 1、正方体有：6个面，12条棱，8个顶点。 2、正方体的6个面完全相同，12条棱长的长度全相等。 正方体的特征 3、正方体的棱长总和=棱长×12 4、正方体是特殊的长方体。 1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 S=(ab+ah+bh)×2 3、正方体的表面积 S=6a² 4、如果正方体的棱长扩大到原来的n被，它的表面积应扩大到原来 的n²倍。 物体所占空间的大小叫做物体的体积。

表面积

体积 常用的 体积单位

立方厘米(cm³)、立方分米(dm³)、立方米(m³) 1、长方体的体积=长×宽×高(V=abh) a=V÷b÷h 或 a=V÷(bh); b=V÷a÷h 或 b=V÷(ah); h=V÷a÷b 或 h=V÷(ab)。 2、当长、宽、高都扩大到原来的n倍时，体积扩大到原来的n³倍。 3、当长、宽、高都缩小到原来的1/n时，体积缩小到原来的1/n³。 1、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 (V=a³) 2、当棱长扩大到原来的n倍时，体积扩大到原来的n³倍； 3、当棱长缩小到原来的1/n倍时，体积缩小到原来的1/n³倍。 V=Sh

长方体的 体积公式

正方体的 体积公式

长方体和正方 长方体(或正方体)的体积=底面积×高 体的统一公式 S=V÷h ; h=V÷S 体积单位与容 1m³=1000dm³;1dm³=1000cm³; 积单位的进率 1dm³=1L ;1cm³=1mL ; 1L=1000mL第 3 页，共 8 页

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长度、面积、 1、长度每相邻两个单位间的进率是10; (表示物体长度的量) 体积单位 2、面积每相邻两个单位间的进率是100;(计量面积大小的量) 的比较 3、体积每相邻两个单位间的进率是1000。(物体占空间大小的量) 容积 1、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积叫做容积。 2、容积的单位：升(L)和毫升(mL)。一般也用体积单位。 联系 1、容积的大小通过所容纳的物体的体积显示出来。 2、容积的计算方法与体积相同。 容积与体积的 区别 1、意义不同。 联系和区别 2、测量方法不同：体积从物体外面测量数据， 容积从容器里面测量数据。 3、有容积的物体一定有体积，有体积的物

体不一定有容积。 测量不规则物体的体积可以用排水法。利用有刻度的量杯记录 测量不规则物 下放入不规则的物体前、后水位的刻度，水面上升的那部分体积就 体的体积 是不规则物体的体积。 1、计算粉刷的围墙面积 2、计算人工费 3、计算材料费(涂料) 一个物体、一些物体都可以看作一个整体，这个整体可以用自 然数1来表示，通常把它叫做单位“1”,也叫做整体“1”。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分 数。分数的形式可以用 m (n是不为0的自然数)表示。n

粉刷围墙

单位“1”

分数的意义

1、分数线：它表示平均分。 分数各部分名 2、分母：表示把单位“1”平均分成多少份的数。 称的意义 3、分子：表示有这样的多少份的数。 分数单位 的意义 1、把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。 2、分母不同的分数，它们的分数单位也就不同。 3、一个分数的分母越小，分数单位越大；分母越大，分数单位越小a 被除数 1、被除数÷除数= 除数 ，用字母表示为a÷b= b ,(b≠0)。

分数与除法

2、反过来说，分数也可以看作两个数相除，分子相对于被除数，分 母相对于除数，分数线相对于除号，分数值相当于商。

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1、除法是一直运算，分数是一种数。 2、一个分数，不但可以从分数的意义上理解，也可以从分数与除法 分数与除法的 的关系上理解。例如：3/8可以理解为把单位“1”平均分成8份，表 区别 示其中3份的数；也可以理解为把3平均分成8份，表示这样的一份的 数。一个数 1、一个数÷另一个数= 另一个数

求一个数是 另一个数的 几分之几

2、比较量÷标准量= 标准量 3、得到的商表示两个数的关系，没有单位名称。

比较量

真分数

1、意义：分子比分母小的分数叫做真分数。 2、特征：真分数<1 1、意义：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。 2、特征：假分数≥1 3、任何整数(0除外)都可以化成分母是1 的假分数。 4、1 可以化成分子、分母(0除外)相同的任意分数。 1、意义：由整数(不包括0)和真分数合成的分数叫做带分数。 2、读法：先读整数部分，再读分数部分，中间加“又”字。 3、写法：先写整数部分，再写分数部分，分数部分的分数线与整数 的中间对齐。 4、特征：带分数>1 真分数

假分数

带分数

分数的分类

分数 假分数

能化成整数的假分数 能化成带分数的假分数

方法：分子÷分母 把假分数化成 1、当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数 整数或带分数 2、当分子不是分母的倍数时，能化成带分数，商是

带分数的整数部 分，余数是分数部分的分子，分母不变。 带分数化成 假分数 用分数部分的分母作分母，用分母和整数部分的乘积再加上分数部 分的分子的和做分子。

用直线上的点 1、真分数 表示分数 2、假分数和带分数

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分数的 基本性质

1、内容：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外), 分数的大小不变。 2、应用：可以把不同分母的分数化成同分母的分数，也可以把一个 分数化为指定分母的分数。

1、如果分数的分子扩大若干倍(或缩小到原来的几分之一),分母 不变，那么这个分数就扩大相同的倍数(或缩小到原来的几分之 分数基本性质 一); 的延伸 2、如果分子不变，分母扩大若干倍(或缩小到原来的几分之一), 那么原来这个分数反而缩小到原来的几分之一(或扩大相同的倍 数)。 1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数； 2、其中最大的一个因数叫做他们的最大公因数。 3、两个数的公因数是它们最大公因数的因数，最大公因数是公因数 的倍数。 公因数只有1的两个数叫互质数。 两个数互质的特殊判断方法： ① 1和任意大于1的自然数； ② 2和任何奇数； ③ 相邻的两个自然数； ④ 相邻的两个奇数； ⑤ 不相同的两个质数； ⑥ 一个合数与一个质数(合数是质数的倍数除外)。

公因数 最大公因数

互质数

互质数与质数 质数是一类数，是只要两个因数的数； 的区别 互质数是相对两个数而言，公因数只有1的两个数才可称为互质数。 ①列举法； ②筛选法； ③分解质因数法； ④短除法。(除数相乘) 特殊情况： 1、当两个数成倍数关系是，较小的数就是这两个数的最大公因数。 2、互质的两个数的最大公因数是1。 分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。 把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，一般化 成最简分数，叫约分。第 6 页，共 8 页

求两个数的 最大公因数 的方法

最简分数

约分

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约分的方法

1、逐步约分法：用分数的分子和分母的公因数(1除外)逐次去除 分子和分母，直到得出一个最简分数。 2、一次约分法：用分数的分子、分母的最大公因数去除分子和分 母，直接得到最简分数。 1、分母是分子的倍数时，同时除以分子，约分后分子是1。 2、分母和分子都是整十、整百数时，先划去同样多的0后再约分 3、分母和分子都是偶数事，先用2去除。 4、分母和分子是互质数是，一定是最简分数。 1、定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小 的一个，叫做它们的最小公倍数。 2、关系：公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数

是公倍数的因数

约分的技巧

公倍数 最小公倍数

1、枚举法 求两个数最小 2、筛选法 公倍数的方法 3、分解质因数法 4、短除法 最小公倍数的 1、两个数互为倍数关系，大数就是它们的最小公倍数。 特殊情况 2、互质数的最小公倍数是它们的乘积。 两个数的乘积=最大公因数×最小公倍数 公分母 最小公分母 通分 把异分母分数化成同分母分数，这个相同的分母叫做它们的公分 母，最小的一个叫做最小公分母。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时一般(为了计算简便)用原分母的最小公倍数作公分母，然 后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 ★①带分数进行通分时，整数部分不变，只需把分数部分通分，但 不能丢掉整数部分。 ★②把不同分子的分数化成同分子的分数，不是通分。 相同点：都是依据分数的基本性质，都要保持分数的大小不变。 不同点：①约分只对一个分数进行，而通分至少要对两个分数进行 ②约分是分子和分母同时除以一个不等于零的数，而通分 则是分子、分母同时乘以一个不等于零的数； ③约分的结果是最简分数，通分的结果是同分母分数。第 7 页，共 8 页

通分的方法

约分与通分

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①小数表示的就是十分之几、百分之几、千分之几……的数，根据 小数的意义，有限小数可以直接写成分母是10、100、1000……的分 小数化成分数 数。 ②方法：原来是几位小数，就在1后面写几个零作分母，把原来的小 数点去掉作分子，再化成最简分数。 ①分母是10、100、1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母， 看分母1后面有几个零，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点 上小数点。 分数化成小数 ②分母不是整十、整百、整千……的分数化成小数，用分子除以分 母，除不尽是，按“四舍五入”法保留两位小数。 ③把带分数化成小数，方法同上面相同，带分数的整数部分作为小 数的整数部分，分数部分化成小数作为小数的小数部分。 ①先看是不是最简分数。 判断分数能否 ②最简分数如果分母中只含有质因数2和5,就能化成有限小数。 化成有限小数 ③分母中不含有质因数2和5,可以化成纯循环小数。 的方法 ④分母中既含有质因数2或5,又含有其他质因数，可以化成混循环 小数。 同分母分数的 只需把分子相加、减即可，计算结果一定要化成最简分数。 加减法 异分母分数的 先通分，化成同分母分数，然后按照同分母分数加、减法的法则计 加减法 算。 分数和小数的 如果分数能化成有限小数，把分数化成小数计算比较简单 混合运算 如果分数不能化成有限小数，就把

小数化成分数再计算。 分子是1的 异分母分数 加减的巧算1 a 1 a 1 b 1 b

a b ab b a ab

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①分母是10、100、1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母，

看分母1后面有几个零，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点

上小数点。

分数化成小数②分母不是整十、整百、整千……的分数化成小数，用分子除以分

母，除不尽是，按“四舍五入”法保留两位小数。

③把带分数化成小数，方法同上面相同，带分数的整数部分作为小

数的整数部分，分数部分化成小数作为小数的小数部分。

①先看是不是最简分数。

判断分数能否

②最简分数如果分母中只含有质因数2和5，就能化成有限小数。化成有限小数③分母中不含有质因数2和5，可以化成纯循环小数。

的方法④分母中既含有质因数2或5，又含有其他质因数，可以化成混循环

小数。

同分母分数的只需把分子相加、减即可，

计算结果一定要化成最简分数。加减法

异分母分数的先通分，化成同分母分数，然后按照同分母分数加、减法的法则计

加减法算。

分数和小数的如果分数能化成有限小数，把分数化成小数计算比较简单混合运算如果分数不能化成有限小数，就把小数化成分数再计算。

分子是1的

异分母分数

加减的巧算