武汉大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试

一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

13. 求微分方程xy 2y xlnx满足

y(1)

19的

1. 2.

已知

cosxcosx

是f(x)的一个原函数,则 f(x) dx xx

.

解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线y y(x)(x 0)，过点(0,1)，

且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点纵

n

lim

12

n

(cos2

n

cos2

2 n 1 cos2 ) nn

坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题（本大题10分）

－

x2arcsinx 1

1 x

2

dx

15. 过坐标原点作曲线y lnx的切线，该切线与曲线

y lnx及x 轴围成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所

得旋转体的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

3. .

二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共

16分)

1 x

， (x) 3 3x，则当x 1时（　　）1 x4.

.

（A） (x)与 (x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；

设 (x)

（B） (x)与 (x)是等价无穷小；

（C） (x)是比 (x)高阶的无穷小； （D） (x)是比 (x)高阶的无穷小.

12

16. 设函数f(x)在 0,1 上连续且单调递减，证明对任意的

q

1

q [0,1]，0

f(x)dx q f(x)dx

.

17. 设函数f(x)在 0, 上连续，且

f(x)dx 0

，

5.

f(x)cosxdx 0

.证明：在 0, 内至少存在两个

设f(x) cosx(x sinx),则在x 0处有(.

（A）f (0) 2 （B）f (0) 1（C）f (0) 0 （D）f(x)不可导.

　)

不同的点 1, 2，使f( 1) f( 2) 0.（提示：设

x

F(x)

f(x)dx

）

6. 若

F(x) (2t x)f(t)dt

x

，其中f(x)在区间上( 1,1)

二阶可导且f (x) 0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x 0处取得极大值；

（B）函数F(x)必在x 0处取得极小值； （C）函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y F(x)的拐点；

（D）函数F(x)在x 0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y F(x)的拐点。

7.

设f(x)是连续函数，且 f(x) x 2 f(t)dt , 则f(x) (

2

1

)

xx

2

（A）2 （B）2（C）x 1 （D）x 2. 8.

2

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

x y

y y(x)e sin(xy) 1确定，求9. 设函数由方程

y (x)以及y (0).

1 x7

求 dx.7

x(1 x)10.

x

1 xe，　　x 0

设f(x) 　求 f(x)dx．

32

2x x，0 x 111.

1

012. 设函数f(x)连续，，且

f(x)lim Ax 0x，A为常数. 求g (x)并讨论g (x)在

g(x) f(xt)dt

x 0处的连续性.

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

C1

21,C2 33

y

2 x12x

e e33

故所求曲线方程为：

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

五、解答题（本大题10分）

1cosx2

(x0,lnx0)，切线方程：() c615. 解：（1）根据题意，先设切点为e2x25. . 6..7. .

8.3.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

ex y(1 y ) coxys(xy ) (y )y (x) ex y

ycos(xy)ex y

xcos(xy)x 0,y 0 (0) 1 ，y 10. 解：u x7　　

7x6

dx du 原式 1(1 u)112

7 u(1 u) 7 (u u 1)du

1

7(ln|u| 2ln|u 1|) c

1ln|x7| 2

ln|1 x777| C

111.

解： 3f(x)dx 0 3xe xdx

0 0 3xd( e x) 0 xe x e x 00 2

3 cos d (　

令x 1 sin )2

4 2e3

1

12. 解：由f(0) ，知g(0) 0。

x

1

(u)du

g(x) f(xt)dtxt

u

f0

0

x

(x 0)

x

xf(x) u)du

g (x)

f(x

2

(x 0)

xdu

lim

f(u)0

g (0)x 0

limf(x)Ax2

x 02x 2

xxf(x) (u)du

limg (x) lim

f0 x 0

x 0

x

2

A

AA2

2，g (x)在

x 0处连续。

dy13. 解：dx 2

xy lnx 2

y e

2

x

dx( e

x

dxlnxdx C)

13xlnx 1

x Cx 2

9

y(1) 1

9C, ，

0y 13xlnx 19x

四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且y 2 x

ydx y

，

将此方程关于x求导得y 2y y

特征方程：r2

r 2 0 解出特征根：r1 1,r2 2.

其通解为 y Ce x C2x

12e

代入初始条件y(0) y (0) 1，得

y lnx10 x(x x0)0 1由于切线过原点，解出x0 e，从而切线方程为：y ex 1

A (ey ey)dy 1e 1则平面图形面积 02 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

V1

1 3 e2 ln 曲线yx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 1

V2 (e ey)2dy0D绕直线x = e 旋转一周

所得旋转体的体积V V1 V2

6(5e2 12e 3)六、证明题（本大题有2小题，每小题 4分，共12分）

16. 证明：q1

f(x)dx q0 f(x)dx0qq1

f(x)dx q( f(x)dx f(x)dx)

q

q

1

(1 q) f(x)dx q f(x)dx

q

1 [0,q] 2 [q,1]

f( 1) f(

2)

q(1 q)f( 1) q(1 q)f( 2)

0故有：

q

1

f(x)dx q f(x)dx