第八章 向量自回归和自回归条件异方差模型

第八章 向量自回归和自回归条 件异方差模型

本章介绍时间序列的向量自回归和自回归条件 异方差模型。 向量自回归模型是自回归移动平均模型从单个 向量自回归模型 时间序列到多个时间序列的扩展。 自回归条件异方差模型主要考察时间序列数据 自回归条件异方差模型 波动性的变化，在金融领域的风险分析中有重 要应用。 本章介绍这两种模型的意义和特征、参数估计、 检验和应用等。2

第一节 向量自回归模型一、向量自回归模型概述 ARMA模型分析针对单个时间序列，存在忽略 经济变量之间内在联系的缺点。 克服这个缺点的方法是把ARMA模型扩展到针 对多个时间序列，把ARMA模型中的变量换成 ARMA 向量。 因为自回归移动平均模型可相互转换，而且在 向量变量的情况下自回归模型比较方便，因此 一般主要考虑向量变量的自回归模型，称为 “向量自回归模型”(Vector autoregression model,VAR)。3

(一)VAR模型的表示形式 把p阶自回归模型AR(p)中的变量和误差项都变 成向量，系数变成系数向量或矩阵，就得到一 个p阶向量自回归模型VAR(p):

Yt = η + Φ1Yt 1 + L + Φ p Yt p + ε t引进滞后算子，向量自回归模型可以写成

(I n Φ1L Φ2L L Φ p L )Yt = η + εt2 p

或者

Φ(L)Yt = η + ε t4

引进下列记号： ε t Yt µ Φ1 Φ 2 L Φ p 1 Φ p 0 Y µ I 0 L 0 0 V = t 1 , F = n t , ξt = M M M 0 0 0 L In 0 Yt p +1 µ

则p 阶向量自回归模型VAR(p),也可写成 一阶自回归形式VAR(1):ξ t = Fξ t 1 + Vt5

其中 Vt 的协方差矩阵为 Q t = τ E (Vt Vτ′ ) = 0 t ≠τ 0 L 0 0 0 L 0 Q= M 0 0 L 0 6

为了分析的方便，也常常假设 ε t 服从多 元正态分布，即 ε t ~ iidN [0, ] ,其中 ε t 可以包含一定自相关性，即 是对称正 定矩阵，但不一定是对角线矩阵。 当 ε t 满足该假设时，上述向量自回归模 型也称为“高斯向量自回归模型 高斯向量自回归模型”。 高斯向量自回归模型

向量自回归模型VAR(p) 展开，可以写成 每个变量对常数项和向量中所有变量的 1-p阶滞后项回归的，n个方程构成的联 立方程组系统(1) ( Y1t = η1 + φ11 Y1,t 1 + L + φ1(1)Yn ,t 1 + L + φ11p )Y1,t p + L + φ1(np )Yn ,t p + ε1t n

LL(1) ( Ynt = ηn + φn(1)Y1,t 1 + L + φnn Yn ,t 1 + L + φn(1p )Y1,t p + L + φnnp )Yn ,t p + ε nt 1

这个展开形式上与一般联立方程组模型相似， 但其实有本质差异： 1、VAR模型不强调变量之间关系的理论根据， 模型形式、变量、滞后期数等并不

以特定经济 理论为依据，模型变量也不存在内生、外生之 分，每个方程都包含所有的变量； 2、VAR模型的主要作用是进行预测分析而不是 经济结构分析； 3、由于模型结构性质的差别，VAR模型的参数 估计和检验等与联立方程组模型也有差别。

(二)平稳性分析 1、平稳性定义 如果向量自回归过程 Yt 的一阶矩 E (Yt ) 和 二阶矩 E (Yt Yt′ j ) 关于时期t都是独立的， 则称为“协方差平稳的”,或者直接称 “平稳的”。平稳意味着向量中包含的 各个时间序列都是平稳的。10

2、平稳性条件利用一阶自回归形式 ξ t = Fξ t 1 + Vt 进行迭代 可得 1 ξ t + s = Vt + s + FVt + s 1 + F 2 Vt + s 2 + L + F s 1Vt +1 + F s Vt

因为平稳过程意味着随着时间的不断增 大，扰动的效应必须逐渐消失，因此上 述向量自回归过程的平稳性要求随着s s 不断增大 F → 011

因此矩阵F的特征方程 I n λ p Φ1λ p 1 Φ 2λ p 2 L Φ p = 0 的根都必须满足 λ < 1 ,也就是在单位圆 内。 另一种表达方法: I n Φ1 z Φ 2 z 2 L Φ p z p = 0 满足方程 的所有 z 值(根)都必须在单位圆之外。12

(三)性质 1、均值 对于平稳的向量自回归模型Yt ,两边求 数学期望得：µ = E (Yt ) = η + Φ1µ + L + Φ pµ

可得到其均值为：

µ = [I n Φ1 L Φ p ] 1 η13

2、MA(∞)表示方法一个平稳的向量自回归过程可以写成一个白噪 声向量的无限移动平均过程MA(∞):

Yt = µ + ε t + Ψ1ε t 1 + Ψ 2ε t 2 + L = µ + Ψ (L)ε t其中 Ψ (L)是上述移动平均表达式的滞后算子 Ψ 多项式， (L) 与自回归形式的滞后算子多项式 Φ(L)之间的关系为 Ψ (L) = [Φ(L)] 1 ,意味着(I n Φ1L Φ2 L2 L Φ p Lp )(I n + Ψ1L + Ψ 2L2 + L) = I n14

二、向量自回归模型参数估计 普通最小二乘估计能得到一致估计。 因为不同方程的误差之间有相关性，因 此ML能得到更有效的估计 ML 在模型误差项服从多元正态分布的前提 下，模型参数向量的最大似然估计与最 小二乘估计是相同的，只是误差方差的 估计不同。15

以误差向量服从多元高斯过程的高斯向 量自回归模型为例，说明最大似然估计。 一个p阶高斯向量自回归模型即 Yt = η + Φ1Yt 1 + L + Φ p Yt p + ε t 其中 ε t ~ iidN [0, ] 。