第7章 一阶电路和二阶电路 的时域分析7.1 动态电路的方程及其初始条件 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的全响应 7.5 二阶电路的零输入响应 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应 7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应 7.9* 卷积积分 7.10* 状态方程 7.11* 动态电路时域分析中的几个问题

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重点 1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；

2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响 应和全响应的概念及求解；3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求 解。

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7.1 动态电路的方程及其初始条件1. 动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。

特点当动态电路状态发生改变时(换路)需要 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。

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例

电阻电路(t = 0) R1 R2 0 i

+ i us -

i U S / R2t 过渡期为零

i U S ( R1 R2 )

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电容电路

+ Us -

(t = 0) R i + k uC –

+ C Us -

(t → ) R i + uC –

C

uc k未动作前，电路处于稳定状态： i = 0 , uC = 0 US 新的稳定状态 US k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路 R 达到新的稳定状态： i i = 0 , u有一过渡期 C= U s t1 t 0

?

前一个稳定状态

过渡状态

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电感电路 + Us (t = 0) R i + k uL –

L

+ Us -

(t → ) R i + uL –

i k未动作前，电路处于稳定状态： i = 0 , uL = 0 US/R 新的稳定状态 US k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定 状态，电感视为短路： uL= 0, i=Us /R uL 有一过渡期 t1 t 0

?

前一个稳定状态

过渡状态

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+ Us -

(t → ) R i + uL –

+ Us -

(t → ) R i + k uL –

k未动作前，电路处于稳定状态： uL= 0, k断开瞬间

i=Us /R

i = 0 , uL =

注意 工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。

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换路

电路结构、状态发生变化 支路接入或断开 电路参数变化

过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件 L、C,电路在换路时 能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的 时间来完成。

Δw p Δt

Δt 0

p 返 回 上 页 下 页

2. 动态电路的方程例 RC电路应用KVL和电容的VCR得：

(t >0) + Us -

R i + uC –

C

Ri uC uS (t ) duC i C dt若以电流为变量：

duC RC uC uS (t ) dt 1 Ri idt uS (t ) C

di i duS (t ) R dt C dt返 回 上 页 下 页

RL电路 应用KVL和电感的VCR得：

Ri uL uS (t )di uL L dt

(t >0) R i + + uL Us – -

R 若以电感电压为变量： uLdt uL uS (t ) LR duL duS (t ) uL L dt dt返 回

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di Ri L uS (t ) dt

结论

有源 电阻 电路

一个动 态元件

一阶 电路

含有一个动态元件电容或电感的线性电 路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称 一阶电路。

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RLC电路

应用KVL和元件的VCR得：

Ri uL uC uS (t )2

(t >0) R i + + uL Us C – -

di d uC duC uL L LC 2 i C dt dt dt 2 d uC duC LC 2 RC uC uS (t ) dt dt

uC

+

二阶电路

含有二个动态元件的线性电路，其电路方程 为二阶线性常微分方程，称二阶电路。返 回 上 页 下 页

结论 ①描述动态电路的电路方程为微分方程； ②动态电路方程的阶数通常等于电路中动 态元件的个数。 一阶电路中只有一个动态元件,描述 一阶电路 电路的方程是一阶线性微分方程。

二阶电路

dx a1 a0 x e(t ) t 0 dt2

二阶电路中有二个动态元件,描述 电路的方程是二阶线性微分方程。

dx dx a2 2 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt返 回 上 页 下 页

高阶电路n

电路中有多个动态元件，描述 电路的方程是高阶微分方程。n 1

dx d x dx an n an 1 n 1 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt dt动态电路的分析方法 ①根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；

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②求解微分方程 时域分析法本章 采用

复频域分析法 拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换

经典法状态变量法 卷积积分 数值法

工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。

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稳态分析和动态分析的区别 稳态 恒定或周期性激励 换路发生很长时间后状态 动态 任意激励 换路发生后的整个过程 微分方程的通解

微分方程的特解

dx 直流时 a1 a0 x U S dt dx t 0 a0 x U S dt返 回 上 页 下 页

3.电路的初始条件① t = 0+与t = 0-的概念 0- 换路前一瞬间 认为换路在t=0时刻进行

f (0 ) f (0 )f(t)

f (0 ) lim f (t ) t 0t 0

0+ 换路后一瞬间

f (0 ) lim f (t ) t 0t 0

f (0 ) f (0 )0- 0 0+ t

注意 初始条件为 t = 0+时u ,i 及其各阶导数的值。返 回 上 页 下 页

例 图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。 解

Ri uc 0 (t 0)R

(t=0) + C uC i -

duc RC uc 0 dt 特征根方程： RCp 1 0通解：

p 1 RC t RC

uc (t ) ke kept

代入初始条件得： k

Uo

uc (t ) U oe

t RC

明确

在动态电路分析中，初始条件是得 到确定解答的必需条件。返 回 上 页 下 页

②电容的初始条件

1 t uC (0 ) 0 i ( )d C 0 1 0 t = 0+ 时刻 u (0 ) u (0 ) C C 0 i( )d C

uc 1 t - C uC (t ) i ( )d

C 1 0 1 t i ( )d 0 i ( )d C C

i

+

当i( )为有限值时

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uC (0+) = uC (0-)q =C uC结论

q (0+) = q (0-)

电荷 守恒

换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压(电荷)换路前后保持不变。

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③电感的初始条件t

iL

1 iL (t ) u ( )d L 1 0 1 t u ( )d 0 u ( ))d L L

+ u -

L

1 t iL (0 ) 0 u ( )d L 0 1 0 t = 0+时刻 iL (0 ) iL (0 ) 0 u ( )d L

当u为有限值时

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