圆锥曲线专题5：存在性问题

圆锥曲线专题5:存在性问题

3 (2012届高新一中第三次大练习)已知椭圆C过点A(1, ), 2 两个焦点为(-1,0),(1,0). 1.求椭圆C的方程； MN是 2.线段MN是经过椭圆C右焦点F2的焦点弦，问是否存在这样 MN, 的线段MN,使得直线MF1与NF1互相垂直，其中F1是椭圆C的 左焦点。若存在，求出它所在直线的方程；若不存在，说 明理由。

2 , (2011重庆文理)如图，椭圆的中心为原点O,离心率e = 2 一条准线的方程是x=2 2. (1)求该椭圆的标准方程； uuu uuuu r r uuur OP (2)设动点P 满足： = OM + 2ON , 其中M , N 是椭圆上的点， 1 OM与ON的 直线OM与ON的斜率之积为- .问： 2 (文)是否存在定点F,使得 PF 与点P到直线l:x = 2 10的距 离 之 比 为 定 值 ？ 若 存 在 ， 求 F的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 . (理)是否存在两个定点F1 , F2,使得 PF1 + PF2 为定值？若 存在，求F1 , F2的坐标；若不存在，说明理由。x2 y2 x2 y2 1. + 答案 ： = 1;2. P的轨迹方程是 + =1 2 2 4 2 (2 5) ( 10)

(2012高新一中第五次文科大练习)已知中心在原点， 1 3 焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点M 1, )。 ( 2 2 1.求椭圆C的方程； 2.是否存在过点 P(2,)的直线l与椭圆C相交于不同的 1 uuu uuu uuur 2 r r 两点A,B,满足 PA PB = PM ? 若存在，求出直线l的方程； 若 不 存在 ， 请说 明理 由 。

(2011湖北文理)平面内与两定点A1 ( a , 0), A2 (a , 0) (a > 0)的连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨 迹，加上A1 , A2两点所成的曲线C 可以是圆，椭圆或 双曲线. (1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系； (2)当m=-1时，对应的曲线为C1 ; 对给定的m ∈ ( -1,) m=-1时 0 + U ( 0,∞ ) ,对应的曲线为C 2 , 设F1 , F2是C 2的两个焦点. = m a 2 .若存在，求 tan F1 NF2的值；若不存在，请说 明理由 . 试问：在C1上，是否存在点N,使得 F1 NF2的面积S

(2011浙江文)如图，设P是抛物线C1 : x = y上的2

动点，过点P 作圆C 2 : x 2 + ( y + 3)2 = 1的两条切线， 交直线l : y = 3于A, B两点. (1)求圆C 2的圆心M 到抛物线C1准线的距离； P,使 AB被 (2)是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的 切 线 平分 ？若 存 在， 求 出点 P的 坐标 ； 若不 存在 ， 请 说 明理 由.

x2 y2 (2010年陕西)如图，椭圆C: 2 + 2 = 1的顶点为 a b A1 , A2 , B1 , B2 , 焦点为F1 , F2 , A1 B1 = 7, S ()求椭圆C的方程； 1 (2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点， uuu r 与椭圆相交于A, B两点的直线， = 1.是否存在上述直线l OP uuu uuu r r 使 AP PB = 1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在， 请说明理由。A1 B1 A2 B2

= 2S

B1F1B2 F2

.

x y 1. + 答案： = 1;2.不存在 16 12

2

2

(1) y

2 = 4 x

( x > 0)

(2) (3 - 2 2,3 + 2 2)

x2 y2 (2010年山东)如图，已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b 2 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左，右焦 2 点F1 , F2为顶点的三角形周长为( 2+1 4 ),一等轴双曲 线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点 的任一点，直线PF1 , PF2与椭圆的交点分别为A, B和C , D。 (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)设直线PF1 , PF2的斜率分别为k1 , k2 , 证明：k1 k2 =1; (3)是否存在常数λ,使得 AB + CD = λ AB CD 恒成立？ 若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。

x2 y2 变式训练 2 (2010·山东)如图，已知椭圆a2+b2=1 2 2 (a>b>0)过点 1, ,离心率为 ，左、右焦点分别 2 2 为 F1、F2.点 P 为直线 l:x+y=2 上且不在 x 轴上的 任意一点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C、D,O 为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2. 1 3 ①证明： - =2; k1 k2 ②问直线 l 上是否存在点 P,使得 OA、OB、OC、OD 的斜率 kOA、kOB、kOC、kOD 满足 kOA+kOB+kOC+kOD =0?若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若 不存在，说明理由.

(1)解

因为椭圆过点 1,

2 2 ,e= , 2 2

2 1 1 c 所以 2+ 2=1, = . a 2b a 2 又 a2=b2+c2,所以 a= 2,b=1,c=1. x2 2 故椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)①证明 方法一 因为 F1(-1,0)、F2(1,0),PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,且点 P 不在 x 轴上. 所以 k1≠k2,k1≠0,k2≠0. 又直线 PF1,PF2 的方程分别为 y=k1(x+1), y=k2(x-1), k1+k2 x= , k2-k1 联立两方程解得 2k1k2 y=k2-k1, k1+k2 2k1k2 所以 P( , ). k2-k1 k2-k1

k1+k2+2k1k2 由于点 P 在直线 x+y=2 上，所以 =2. k2-k1 1 3 因此 2k1k2+3k1-k2=0,即 - =2,结论成立. k1 k2 y0 y0 方法二 设 P(x0,y0),则 k1= ,k2= , x0+1 x0-1 因为点 P 不在 x 轴上，所以 y0≠0. 又 x0+y0=2, 1 3 x0+1 3(x0-1) 4-2x0 2y0 所以 - = - = = =2. k1 k2 y0 y0 y0 y0 因此结论成立. ②解 设 A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD). y=k1(x+1), 2 联立直线 PF1 与椭圆的方程得 x +y2=1, 2

化简得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0, 1 1 1 2 -4k1 2k2-2 1 因此 xA+xB= 2 ,xAxB= 2 . 2k1+1 2k1+1 由于 OA、OB 的斜率存在， 所以 xA≠0,xB≠0,因此 k2≠0 且 k2≠1. 1 1 yA yB k1(xA+1) k1(xB+1) 因此 kOA+kOB= + = + xA xB xA xB 4k2 xA+xB 4k1 2k1 1 =2k1+k1· =k1 2- 2 =- 2 =- 2 . xAxB 2k1-2 2k1-2 k1-1 类似地可以得到 xC≠0,xD≠0,k2≠0 且 k2≠1. 2 2 2k2 , kOC+kOD=- 2 k2-1