武汉理工大学线性代数试卷期末考试卷子1

武汉理工大学线性代数试卷期末考试卷子

武汉理工大学考试试题 2题号 题分 一 12 二 12 三 40 四 12 五 12 六 12 七 八 九 十 总分 100备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)

一.单项选择题(每小题 3 分，共 12 分) 1. 设 A, B 均为 n 阶矩阵，且 ( A B)2 A2 2 AB B 2 ,则必有____________; (A) B E (B) AB BA (C) A E (D) A B

2. 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,则以下命题中成 立的是____________; (A) 1 一定能由 2 , 3 , 4 线性表示 (C) 4 一定能由 1 , 2 , 3 线性表示 (B) 2 一定能由 1 , 3 , 4 线性表示 (D) 3 一定能由 1 , 2 , 4 线性表示

3. 设 1 , 2 是三元线性方程组 Ax b 的两个不同的解，且 R( A) 2 ,则 Ax b 的通解为 x ____________; (A) k1 1 k2 2 +

1 22

(B) k ( 1 2 )

1 22

(C) k1 1 k2 ( 1 2 )

(D) k1 2 k2 ( 2 1 )

2 1 1 4. 已知 (1, k ,1) 是矩阵 A 1 2 1 的特征向量，则 k ____________; 1 1 2 T

(A) 1 或 2 (B) -1 或-2 (C) -1 或 2 二.填空题(每小题 3 分，共 12 分)1 0 1 1

(D) 1 或-2

1.

0 =____________; 3 2 5 2 1 1 3 A 2 0 1 ,则 B 1 =____________; 0 0 2 1

2. 如果 A 是 3 阶可逆矩阵，互换 A 的第一、第二行，得矩阵 B ,且

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3. 设向量 1 (1,1,1)T , 2 (2,0, a)T , 3 (1,3,2)T , 若 1 , 2 , 3 线性相关，则 a =____________; 4. 已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1、-1、2,则矩阵 A2 E 的特征值为____________; 三.解答题(每小题 8 分，共 40 分) 1 1 1 01 1 0 1

1.

计算行列式 Dn

(n 2) ;

1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 设 3 阶方阵 A, 满足方程 A B A B E ,试求矩阵 B ,其中 A 0 2 0 ; B 2 0 1 2

2.

3. 4.

设 A 为三阶矩阵且 A

1 ,求 (3 A) 1 2 A* ; 3

求向量组 1 (1, 1,2,4)T , 2 (3,0,7,14)T , 3 (0,3,1,2)T , 4 (1, 1,2,0)T 的一个最大无 关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示； 已知三阶实对称矩阵 A 的三个特征值为 1 0, 2 3 2 ,且对应于特征值为 0 的特征 向量为 1 (1,0, 1)T ,求矩阵 A.

5.

x1 3 x2 x3 0 四.(12 分) 设线性方程组为 x1 4 x2 a x3 b ,问： a 、 b 分别取何值时，方程组无解、 2 x x 3 x 5 3 1 2

有唯一解、有无穷多解？ 并在有无穷多解时求出其通解. 五. (12 分)设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 由正交变换 x Py 可化为标准形2 2 f 2 y12

y 2 y3 .求 的值及正交矩阵 P,并判断该二次型的正定性.

六.证明题(每小题 6 分，共 12 分) 1. 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,且 1 1 2 3 , 2 1 2 3 , 3 1 2 3 .试 证明向量组 1 , 2 , 3 线性无关. 2. 若方阵 A、B 满足 A E B, 且B 2 B .证明 A 可逆，并求 A 1 (用 A 的多项式表示).